Question Number 75547 by TawaTawa last updated on 12/Dec/19
$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{Evaluate}:\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{n}\:=\:\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5n}\:+\:\mathrm{1}}\right) \\ $$
Commented by mind is power last updated on 13/Dec/19
$$\mathrm{mor}\:\mathrm{generaly} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{S}=\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{ak}+\mathrm{b}} \\ $$$$\mathrm{withe}\:\:\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in\mathbb{N}^{\ast\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{withe}\:\mathrm{gcd}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{S}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{b}}.\Sigma\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{k}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}} } \\ $$$$\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} .\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{ak}}{\mathrm{b}}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\varepsilon>\mathrm{0}\Rightarrow\:\:\mathrm{since}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{unifirm}\:\mathrm{cv}\:\mathrm{we}\:\mathrm{switch}\:\boldsymbol{\div} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}−\varepsilon} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}−\varepsilon} \mathrm{x}^{\frac{\mathrm{ak}}{\mathrm{b}}} \mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{S}=\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} .\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{ak}}{\mathrm{b}}}\left(\mathrm{1}−\varepsilon\right)^{\frac{\mathrm{ak}}{\mathrm{b}}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{tack}\:\varepsilon\rightarrow\mathrm{0}\:\:\mathrm{justify}\:\mathrm{by}\:\mathrm{the}\:\mathrm{fact} \\ $$$$\forall\varepsilon>\mathrm{0}\:\mathrm{S}=\:\:\:\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{ak}}{\mathrm{b}}}\left(\mathrm{1}−\varepsilon\right)^{\frac{\mathrm{ak}}{\mathrm{b}}+\mathrm{1}} \mathrm{Converge}\:\mathrm{uniformily}\:\mathrm{in}\:\mathrm{compact}\:\left[\mathrm{0},\mathrm{1}−\varepsilon\right] \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}} }=\mathrm{S},\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\neq\mathrm{1}\:\:\mathrm{since}\:\:\mathrm{gcd}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\mathrm{1}\: \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{tg}^{\mathrm{2}\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}} \mathrm{u} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{2b}}{\mathrm{a}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{u}\right)\right)\mathrm{tg}^{\frac{\mathrm{2b}−\mathrm{a}}{\mathrm{a}}} \left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du} \\ $$$$\mathrm{S}=\frac{\mathrm{2b}}{\mathrm{a}}.\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \mathrm{tg}^{\frac{\mathrm{2b}−\mathrm{a}}{\mathrm{a}}} \left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du} \\ $$$$\mathrm{S}=\frac{\mathrm{2b}}{\mathrm{a}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \mathrm{sin}^{\frac{\mathrm{2b}}{\mathrm{a}}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{u}\right).\mathrm{cos}^{\frac{−\mathrm{2b}}{\mathrm{a}}+\mathrm{2}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du} \\ $$$$\mathrm{withe} \\ $$$$\overset{\sim} {\mathrm{B}}\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{s}\right)=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{s}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}\right).\mathrm{sin}^{\mathrm{2y}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{bS}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\overset{\sim} {\mathrm{B}}\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}},\mathrm{1}−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}},\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{ak}+\mathrm{b}}=\frac{\overset{\sim} {\mathrm{B}}\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}},\mathrm{1}−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}},\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)}{\mathrm{a}}\:\:,\forall\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in\mathbb{N}^{\ast\mathrm{2}} \mathrm{withe}\:\mathrm{gcd}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{and}\:\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\neq\left(\mathrm{1},\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 12/Dec/19
$${pehaps}\:{the}\:{Q}\:{is}\:{evaluate}\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\mathrm{5}{n}+\mathrm{1}} \\ $$
Commented by TawaTawa last updated on 12/Dec/19
$$\mathrm{ok},\:\mathrm{help}\:\mathrm{me}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by TawaTawa last updated on 13/Dec/19
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by mind is power last updated on 13/Dec/19
$$\mathrm{y}'\mathrm{re}\:\mathrm{Welcom} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 12/Dec/19
$$\mathrm{diverge}\:+\infty \\ $$
Answered by mind is power last updated on 12/Dec/19
$$\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5n}+\mathrm{1}}\geqslant\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5n}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}……\mathrm{E} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\leqslant\int_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{n}=\mathrm{2}} {\overset{+\mathrm{N}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\geqslant\mathrm{ln}\left(\mathrm{N}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}\underset{\mathrm{N}\rightarrow\infty} {\:}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{N}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\geqslant\underset{\mathrm{N}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\left\{\mathrm{ln}\left(\mathrm{N}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\right\}=+\infty \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{E}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:+\infty \\ $$$$ \\ $$
Commented by TawaTawa last updated on 12/Dec/19
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$$$\mathrm{Is}\:\mathrm{there}\:\mathrm{shortcut}\:\mathrm{to}\:\mathrm{know}\:\mathrm{a}\:\mathrm{series}\:\mathrm{diverges}\: \\ $$