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Express-n-1-49-1-n-n-2-1-as-a-b-2-for-some-integers-a-and-b-

Tinku Tara
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Question Number 131484 by bemath last updated on 05/Feb/21
Express Σ_(n=1) ^(49) (1/( (√(n+(√(n^2 −1)))))) as a+b(√2) for some integers a and b
$$\mathrm{Express}\:\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{49}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}+\sqrt{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}}\:\mathrm{as}\:{a}+{b}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{some}\:\mathrm{integers}\:{a}\:\mathrm{and}\:{b} \\ $$
Answered by benjo_mathlover last updated on 05/Feb/21
Answered by mr W last updated on 05/Feb/21
(1/( (√(n+(√(n^2 −1)))))) =(√(n−(√(n^2 −1)))) =(√(n−(√((n−1)(n+1))))) =(√(((n−1)/2)+((n+1)/2)−2(√((((n−1)/2))(((n+1)/2)))))) =(√(((√((n−1)/2)))^2 +((√((n+1)/2)))^2 −2(√((((n−1)/2))(((n+1)/2)))))) =(√(((√((n+1)/2))−(√((n−1)/2)))^2 )) =(√((n+1)/2))−(√((n−1)/2)) Σ_(n=1) ^(49) ((√((n+1)/2))−(√((n−1)/2))) =Σ_(n=2) ^(50) (√(k/2))−Σ_(k=0) ^(48) (√(k/2)) =(Σ_(k=0) ^(48) (√(k/2))+(√((49)/2))+(√((50)/2))−(√(1/2))−(√(0/2)))−Σ_(k=0) ^(48) (√(k/2)) =(√((49)/2))+(√((50)/2))−(√(1/2))−(√(0/2)) =(7/( (√2)))+5−(1/( (√2))) =5+(6/( (√2))) =5+3(√2)
$$\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}+\sqrt{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}} \\ $$$$=\sqrt{{n}−\sqrt{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}} \\ $$$$=\sqrt{{n}−\sqrt{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)}} \\ $$$$=\sqrt{\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\mathrm{2}\sqrt{\left(\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left(\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}} \\ $$$$=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\sqrt{\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\sqrt{\left(\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left(\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}} \\ $$$$=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}−\sqrt{\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\sqrt{\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}−\sqrt{\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{49}} {\sum}}\left(\sqrt{\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}−\sqrt{\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right) \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{50}} {\sum}}\sqrt{\frac{{k}}{\mathrm{2}}}−\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{48}} {\sum}}\sqrt{\frac{{k}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\left(\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{48}} {\sum}}\sqrt{\frac{{k}}{\mathrm{2}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{2}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{50}}{\mathrm{2}}}−\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}−\sqrt{\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{2}}}\right)−\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{48}} {\sum}}\sqrt{\frac{{k}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\sqrt{\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{2}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{50}}{\mathrm{2}}}−\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}−\sqrt{\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{7}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\mathrm{5}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\mathrm{5}+\frac{\mathrm{6}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\mathrm{5}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 05/Feb/21
(√(n+(√(n^2 −1)))) =(√((n+(√(n^2 −n^2 +1)))/2))+(√((n−(√(n^2 −n^2 +1)))/2)) =(√((n+1)/2)) −(√((n−1)/2)) Σ_(n=1) ^(49) (1/( (√((n+1)/2))−(√((n−1)/2))))=(1/( (√2)))Σ_(n=1) ^(49) (√(n+1))−(√(n−1)) =(1/( (√2)))((√2)−0+(√3)−1+(√4)−(√2)+....+(√(49))−(√(47))+(√(50))−(√(48))) =(1/( (√2)))(5(√2)+(√(49))−1)=5+3(√2)
$$\sqrt{{n}+\sqrt{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:=\sqrt{\frac{{n}+\sqrt{{n}^{\mathrm{2}} −{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}}+\sqrt{\frac{{n}−\sqrt{{n}^{\mathrm{2}} −{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\sqrt{\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\:\:−\sqrt{\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{49}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}−\sqrt{\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{49}} {\sum}}\sqrt{{n}+\mathrm{1}}−\sqrt{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{0}+\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{4}}−\sqrt{\mathrm{2}}+….+\sqrt{\mathrm{49}}−\sqrt{\mathrm{47}}+\sqrt{\mathrm{50}}−\sqrt{\mathrm{48}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{49}}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{5}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$

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