Question Number 135609 by physicstutes last updated on 14/Mar/21
$$\mathrm{express}\:\mathrm{the}\:\mathrm{number}\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{13}}\:\mathrm{as}\:\mathrm{a}\:\mathrm{decimal}\:\mathrm{ane}\:\mathrm{state}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{300}^{\mathrm{th}} \:\mathrm{value} \\ $$
Answered by Olaf last updated on 14/Mar/21
$$\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{13}}\:=\:\mathrm{0},\overline {\mathrm{230769}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{verify}\:\mathrm{that}\:\mathrm{230769}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{10}^{−\mathrm{6}{n}} \\ $$$$=\:\mathrm{230769}×\mathrm{10}^{−\mathrm{6}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{10}^{−\mathrm{6}} }\:=\:\frac{\mathrm{230769}}{\mathrm{10}^{\mathrm{6}} −\mathrm{1}} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{230769}}{\mathrm{999999}}\:=\:\frac{\mathrm{3}×\mathrm{76923}}{\mathrm{13}×\mathrm{76923}}\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{13}} \\ $$$$\mathrm{300}\:=\:\mathrm{6}×\mathrm{50} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{300th}\:\mathrm{decimal}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{than} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{6th}\:\mathrm{decimal}\::\:\mathrm{9} \\ $$
Commented by physicstutes last updated on 14/Mar/21
$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{a}\:\mathrm{lot}\:\mathrm{sir} \\ $$