Question Number 2393 by 123456 last updated on 19/Nov/15
$${f}:\left[\mathrm{0},\mathrm{1}\right]\rightarrow\mathbb{R} \\ $$$${x}={a}_{\mathrm{0}} ,{a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{3}} … \\ $$$${f}\left({x}\right)=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{+\infty} {\sum}}{a}_{{i}} \\ $$$$\mathrm{is}\:{f}\left({x}\right)\:\mathrm{continuous}\:\mathrm{in}\:\mathrm{all}\:{x}\in\left[\mathrm{0},\mathrm{1}\right] \\ $$$${f}\left(\mathrm{0},\mathrm{9999}…\right)=?? \\ $$$${f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1} \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 19/Nov/15
$${f}\left({x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{continous}\:\mathrm{is}\:\mathrm{limit}\:\mathrm{does}\:\mathrm{not} \\ $$$$\mathrm{exists}\:\mathrm{for}\:\mathrm{irrational}\:{x}\:\mathrm{and}\:\mathrm{also}\:\mathrm{for}\:\mathrm{rational} \\ $$$${x}=\:{p}/{q}\:\mathrm{where}\:{q}\neq\mathrm{2}^{{n}} \mathrm{5}^{{m}} \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 19/Nov/15
$$\mathrm{I}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{think}\:\mathrm{there}\:\mathrm{is}\:\mathrm{any}\:\mathrm{real}\:\mathrm{number}\:\mathrm{like} \\ $$$$\mathrm{0}.\mathrm{99999}….\:\left(\mathrm{infinite}\:\mathrm{times}\right).\:\mathrm{It}\:\mathrm{is}\:\:\mathrm{same}\:\mathrm{as}\:\mathrm{1}. \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 19/Nov/15
$$\mathrm{What}\:\mathrm{i}\:\mathrm{mean}\:\mathrm{is}\:\mathrm{0}.\mathrm{999}..\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{recurring}\:\mathrm{decimal} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{hence}\:\mathrm{rational}.\:\mathrm{The}\:\mathrm{rational}\:\mathrm{number} \\ $$$$\mathrm{representing}\:\mathrm{this}\:\mathrm{number}\:\mathrm{is}\:\mathrm{1}.\: \\ $$$$\mathrm{This}\:\mathrm{is}\:\mathrm{different}\:\mathrm{from}\:\mathrm{other}\:\mathrm{rationals} \\ $$$$\mathrm{like}\:\mathrm{1}/\mathrm{3}.\:\mathrm{which}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{represented}\:\mathrm{both} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{recurring}\:\mathrm{decimal}\:\mathrm{and}\:\mathrm{fraction}\:\mathrm{notation}. \\ $$$$\mathrm{So}\:\mathrm{for}\:\mathrm{example} \\ $$$$\mathrm{0}.\mathrm{49999999999}…\left(\mathrm{infinite}\:\mathrm{times}\right)=\mathrm{1}/\mathrm{2} \\ $$
Answered by Filup last updated on 19/Nov/15
$$\mathrm{0}.\overset{−} {\mathrm{9}}\:\mathrm{is}\:\boldsymbol{{exactly}}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{to}\:\mathrm{1}. \\ $$$$\mathrm{Because}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{infinite}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{9}'\mathrm{s} \\ $$$$\mathrm{being}\:\mathrm{appended},\:\mathrm{this}\:\mathrm{makes}\:\mathrm{it}\:\mathrm{entirely} \\ $$$$\mathrm{equal}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Think}\:\mathrm{about}\:\mathrm{it}\:\mathrm{like}\:\mathrm{this}: \\ $$$$\mathrm{If}\:\mathrm{1}\neq\mathrm{0}.\overset{−} {\mathrm{9}},\:{then}: \\ $$$$\mathrm{0}.\overset{−} {\mathrm{9}}=\mathrm{0}.\mathrm{999}…\mathrm{999000}\overset{−} {\mathrm{0}}…\:\mathrm{which}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{contradictory}\:\mathrm{against}\:\mathrm{the}\:\mathrm{definition} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{recurring}\:\mathrm{decimals}.\:\boldsymbol{{ALL}}\:\mathrm{recurring} \\ $$$$\mathrm{decimals}\:\mathrm{are}\:\mathrm{rational},\:{thus}: \\ $$$${f}\left(\mathrm{0}.\overset{−} {\mathrm{9}}\right)={f}\left(\mathrm{1}\right)\:\:\:{iff}\:\:\:\mathrm{0}.\overset{−} {\mathrm{9}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{appended}\:\mathrm{infinitly}! \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 19/Nov/15
$$\mathrm{Correct}. \\ $$$$\mathrm{0}.\mathrm{4}\overset{−} {\mathrm{9}}=\mathrm{1}/\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{0}.\overset{−} {\mathrm{9}}=\mathrm{1}. \\ $$$$\mathrm{1}/\mathrm{2}\:\:=.\mathrm{5} \\ $$
Commented by 123456 last updated on 19/Nov/15