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f-x-2-f-1-x-1-x-64x-x-D-f-x-

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Question Number 140470 by EDWIN88 last updated on 08/May/21
(f(x))^2 . f(((1−x)/(1+x))) = 64x , ∀x∈D ⇒ f(x) =?
$$\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)^{\mathrm{2}} .\:\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\right)\:=\:\mathrm{64x}\:,\:\forall\mathrm{x}\in\mathrm{D} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=? \\ $$
Answered by benjo_mathlover last updated on 08/May/21
(1) (f(x))^2 .f(((1−x)/(1+x))) = 64x (2) replace x→((1−x)/(1+x)) ⇒(f(((1−x)/(1+x))))^2 .f(x)= ((64(1−x))/(1+x)) eq (1) ⇒squaring ∵ (f(x))^4 . (f(((1−x)/(1+x))))^2 = (64x)^2 ⇒ (((f(x))^4 . (f(((1−x)/(1+x))))^2 )/(f(x). (f(((1−x)/(1+x))))^2 )) = ((64^2 x^2 (1+x))/(64(1−x))) ⇒ (f(x))^3 = ((64x^2 (1+x))/(1−x)) ∴ ⇒f(x) = 4 (((x^3 +x^2 )/(1−x)))^(1/(3 ))
$$\left(\mathrm{1}\right)\:\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)^{\mathrm{2}} .\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\right)\:=\:\mathrm{64x} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{replace}\:\mathrm{x}\rightarrow\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\right)\right)^{\mathrm{2}} .\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\:\frac{\mathrm{64}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{eq}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\mathrm{squaring}\: \\ $$$$\because\:\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)^{\mathrm{4}} .\:\left(\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\right)\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\left(\mathrm{64x}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)^{\mathrm{4}} .\cancel{\:\left(\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\right)\right)^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right).\:\cancel{\left(\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\right)\right)^{\mathrm{2}} }}\:=\:\frac{\mathrm{64}^{\cancel{\mathrm{2}}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\cancel{\mathrm{64}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\:\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)^{\mathrm{3}} \:=\:\frac{\mathrm{64x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \\ $$$$\therefore\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{4}\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}\: \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/May/21
((1−x)/(1+x))=t ⇒1−x=t+tx ⇒(1+t)x=1−t ⇒x=((1−t)/(1+t)) ⇒ f^2 (((1−t)/(1+t))).f(t)=64.((1−t)/(1+t)) and f^2 (t).f(((1−t)/(1+t)))=64 t ⇒ f(((1−t)/(1+t)))=((64t)/(f^2 (t))) ⇒ (((64t)/(f^2 (t))))^2 .f(t)=64((1−t)/(1+t)) ⇒ ((64t^2 )/(f^3 (t))) =((1−t)/(1+t)) ⇒((f^3 (t))/(64t^2 )) =((1+t)/(1−t)) ⇒f^3 (t)=64((t^2 +t^3 )/(1−t)) ⇒ f(t)=^3 (√(64.((t^2 +t^3 )/(1−t))))
$$\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}=\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{1}−\mathrm{x}=\mathrm{t}+\mathrm{tx}\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\mathrm{x}=\mathrm{1}−\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\right).\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{64}.\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}\right).\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\right)=\mathrm{64}\:\mathrm{t}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\right)=\frac{\mathrm{64t}}{\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}\right)}\:\:\Rightarrow\:\left(\frac{\mathrm{64t}}{\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}\right)}\right)^{\mathrm{2}} .\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{64}\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{64t}^{\mathrm{2}} \:}{\mathrm{f}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{t}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{f}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{64t}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{64}\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)=^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{64}.\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{1}−\mathrm{t}}} \\ $$

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