Question Number 69276 by mr W last updated on 22/Sep/19
$${f}\left({x}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mid{x}+{k}\mid \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:{find}\:{the}\:{values}\:{of}\:{x}\:{such}\:{that}\:{f}\left({x}\right)\: \\ $$$${is}\:{minumum}. \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:{fund}\:{the}\:{roots}\:{of}\:{f}\left({x}\right)−{m}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$${as}\:{example}\:{you}\:{can}\:{set}\:{n}=\mathrm{100},\:{m}=\mathrm{2500}. \\ $$
Commented by Prithwish sen last updated on 22/Sep/19
$$\mathrm{I}\:\mathrm{tink} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{will}\:\mathrm{be}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{if}\:\mathrm{we}\:\mathrm{shift}\:\mathrm{the}\:\mathrm{origin}\: \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:−\mathrm{A}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\mathrm{where}\:\mathrm{A}=\:\boldsymbol{\mathrm{mean}}\:\boldsymbol{\mathrm{of}}\:\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4}………\boldsymbol{\mathrm{n}} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{x}=\:−\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\: \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\:\mid−\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}\mid………….\mid−\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\mathrm{n}\mid \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\: \\ $$$$\:\:\mathrm{Now}\:\mathrm{if}\:\mathrm{we}\:\mathrm{take}\:\boldsymbol{\mathrm{n}}\:=\mathrm{100} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{then}}\:\boldsymbol{\mathrm{f}}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)\:=\mathrm{99}+\mathrm{97}+\mathrm{95}+…….\mathrm{5}+\mathrm{3}+\mathrm{1}=\mathrm{50}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2500} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\:\mathrm{Now}\:\mathrm{the}\:\mathrm{root}\:\mathrm{of}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{for}\:\mathrm{m}=\mathrm{2500} \\ $$$$\mathrm{f}\left(−\mathrm{50}.\mathrm{5}\right)−\mathrm{2500}=\mathrm{0}\: \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{i}}.\boldsymbol{\mathrm{e}}\:\boldsymbol{\mathrm{the}}\:\boldsymbol{\mathrm{root}}\:\boldsymbol{\mathrm{of}}\:\boldsymbol{\mathrm{f}}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)−\boldsymbol{\mathrm{m}}\:\boldsymbol{\mathrm{is}}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}=−\mathrm{50}.\mathrm{5} \\ $$
Commented by Prithwish sen last updated on 23/Sep/19
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{I}\:\mathrm{was}\:\mathrm{egarly}\:\mathrm{waiting}\:\mathrm{for}\:\mathrm{your} \\ $$$$\mathrm{valuable}\:\mathrm{suggestion}. \\ $$
Commented by mr W last updated on 22/Sep/19
$${thanks}\:{alot}\:{sir}! \\ $$$${you}\:{are}\:{generally}\:{right}.\:{but}\:{we}\:{can}\:{be} \\ $$$${more}\:{exact}: \\ $$$${since}\:{the}\:{curve}\:{of}\:{f}\left({x}\right)\:{is}\:{a}\:{kind}\:{of} \\ $$$${folded}\:{line},\:{we}\:{can}\:{say}:\: \\ $$$${if}\:{n}\:{is}\:{odd},\:{then}\:{f}\left({x}\right)_{{min}} \:{is}\:{at}\:{x}=−\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}, \\ $$$${and}\:{if}\:{n}\:{is}\:{even},\:{then}\:{f}\left({x}\right)_{{min}} \:{is}\:{when} \\ $$$${x}\in\left[−\left(\frac{{n}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right),−\frac{{n}}{\mathrm{2}}\right]. \\ $$