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f-x-y-f-x-1-y-y-x-gt-0-f-x-y-y-1-x-x-0-y-gt-0-xy-x-0-y-0-f-5-7-f-6-9-

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 3793 by 123456 last updated on 21/Dec/15
f(x,y)= { ((f(x−1,y)+y),(x>0)),((f(x+y,y−1)+x),(x≤0∧y>0)),((xy),(x≤0∧y≤0)) :} f(5,7)=? f(6,9)=??
$${f}\left({x},{y}\right)=\begin{cases}{{f}\left({x}−\mathrm{1},{y}\right)+{y}}&{{x}>\mathrm{0}}\\{{f}\left({x}+{y},{y}−\mathrm{1}\right)+{x}}&{{x}\leqslant\mathrm{0}\wedge{y}>\mathrm{0}}\\{{xy}}&{{x}\leqslant\mathrm{0}\wedge{y}\leqslant\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$${f}\left(\mathrm{5},\mathrm{7}\right)=? \\ $$$${f}\left(\mathrm{6},\mathrm{9}\right)=?? \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 21/Dec/15
y>0 f(0,y)=f(y,y−1)+0 =f(0,y−1)+(y−1)y =f(0,y−2)+(y−2)(y−1)+(y−1)y =f(0,y−3)+(y−3)(y−2)+(y−2)(y−1)+(y−1)y f(0,y)=f(0,0)+1∙2+2∙3+...+(y−1)y Σ_(n=1) ^(y−1) n(n+1)=(((y−1)(y)(2y−1))/6)+((y(y−1))/2) f(0,y)=((y(y−1)(2y−1))/6)+((y(y−1))/2) (y>0) f(x,y)=f(0,y)+xy f(x,y)=((y(y−1)(2y−1))/6)+((y(y−1))/2)+xy (x>0,y>0) f(5,7)=f(0,7)+35 =((7×6×13)/6)+((7×6)/2)+35 =91+21+35 =112+35=147 f(6,9)=f(0,9)+6×9 =((9×8×17)/6)+((9×8)/2)+54 =3×4×17+36+54 =12×17+90 =204+90=294
$${y}>\mathrm{0} \\ $$$${f}\left(\mathrm{0},{y}\right)={f}\left({y},{y}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{0} \\ $$$$={f}\left(\mathrm{0},{y}−\mathrm{1}\right)+\left({y}−\mathrm{1}\right){y} \\ $$$$={f}\left(\mathrm{0},{y}−\mathrm{2}\right)+\left({y}−\mathrm{2}\right)\left({y}−\mathrm{1}\right)+\left({y}−\mathrm{1}\right){y} \\ $$$$={f}\left(\mathrm{0},{y}−\mathrm{3}\right)+\left({y}−\mathrm{3}\right)\left({y}−\mathrm{2}\right)+\left({y}−\mathrm{2}\right)\left({y}−\mathrm{1}\right)+\left({y}−\mathrm{1}\right){y} \\ $$$${f}\left(\mathrm{0},{y}\right)={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right)+\mathrm{1}\centerdot\mathrm{2}+\mathrm{2}\centerdot\mathrm{3}+…+\left({y}−\mathrm{1}\right){y} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{y}−\mathrm{1}} {\sum}}{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)=\frac{\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({y}\right)\left(\mathrm{2}{y}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}+\frac{{y}\left({y}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$${f}\left(\mathrm{0},{y}\right)=\frac{{y}\left({y}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{y}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}+\frac{{y}\left({y}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\:\:\:\left({y}>\mathrm{0}\right) \\ $$$${f}\left({x},{y}\right)={f}\left(\mathrm{0},{y}\right)+{xy} \\ $$$${f}\left({x},{y}\right)=\frac{{y}\left({y}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{y}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}+\frac{{y}\left({y}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}+{xy}\:\:\left({x}>\mathrm{0},{y}>\mathrm{0}\right) \\ $$$${f}\left(\mathrm{5},\mathrm{7}\right)={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{7}\right)+\mathrm{35} \\ $$$$=\frac{\mathrm{7}×\mathrm{6}×\mathrm{13}}{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{7}×\mathrm{6}}{\mathrm{2}}+\mathrm{35} \\ $$$$=\mathrm{91}+\mathrm{21}+\mathrm{35} \\ $$$$=\mathrm{112}+\mathrm{35}=\mathrm{147} \\ $$$${f}\left(\mathrm{6},\mathrm{9}\right)={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{9}\right)+\mathrm{6}×\mathrm{9} \\ $$$$=\frac{\mathrm{9}×\mathrm{8}×\mathrm{17}}{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{9}×\mathrm{8}}{\mathrm{2}}+\mathrm{54} \\ $$$$=\mathrm{3}×\mathrm{4}×\mathrm{17}+\mathrm{36}+\mathrm{54} \\ $$$$=\mathrm{12}×\mathrm{17}+\mathrm{90} \\ $$$$=\mathrm{204}+\mathrm{90}=\mathrm{294} \\ $$
Commented by Rasheed Soomro last updated on 22/Dec/15
∈xcellent for deriving a formula for f(x,y) in terms of x and y only( free of any function definition)!
$$\in\mathrm{xcellent}\:\:\mathrm{for}\:\mathrm{deriving}\:\mathrm{a}\:\mathrm{formula} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)\:\mathrm{in}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}\:\mathrm{only}\left(\:{free}\:{of}\right. \\ $$$$\left.{any}\:\mathrm{function}\:\mathrm{definition}\right)! \\ $$
Answered by Yozzii last updated on 21/Dec/15
f(5,7)⇒x>0 (y>0). ∴ f(5,7)=f(4,7)+7 ={f(3,7)+7}+7 ={f(2,7)+7}+14 ={f(1,7)+7}+21 ={f(0,7)+7}+28 f(0,7)⇒x≤0 ∧y>0. ∴ f(5,7)={f(0+7,7−1)+0}+35 =f(7,6)+35 =f(6,6)+6+35 We see that f(x,y)=f(0,y)+xy if x>0 (∀y). This is seen from computation of f(5,7)=f(0,7)+5×7. ∴ f(7,6)=f(0,6)+6×7=42. ∴ f(5,7)=f(0,6)+6×7+5×7 =f(6,5)+6×7+5×7 =f(0,5)+6×5+6×7+5×7 =f(5,4)+30+42+35 =f(0,4)+20+72+35 =f(4,3)+127 =f(0,3)+12+127 =f(3,2)+139 =f(0,2)+6+139 =f(2,1)+145 =f(0,1)+2×1+145 =f(1,0)+147 =f(0,0)+0×1+147 f(0,0)⇒x,y≤0⇒f(0,0)=0. ⇒f(5,7)=147.
$${f}\left(\mathrm{5},\mathrm{7}\right)\Rightarrow{x}>\mathrm{0}\:\left({y}>\mathrm{0}\right). \\ $$$$\therefore\:{f}\left(\mathrm{5},\mathrm{7}\right)={f}\left(\mathrm{4},\mathrm{7}\right)+\mathrm{7} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left\{{f}\left(\mathrm{3},\mathrm{7}\right)+\mathrm{7}\right\}+\mathrm{7} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left\{{f}\left(\mathrm{2},\mathrm{7}\right)+\mathrm{7}\right\}+\mathrm{14} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left\{{f}\left(\mathrm{1},\mathrm{7}\right)+\mathrm{7}\right\}+\mathrm{21} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left\{{f}\left(\mathrm{0},\mathrm{7}\right)+\mathrm{7}\right\}+\mathrm{28} \\ $$$${f}\left(\mathrm{0},\mathrm{7}\right)\Rightarrow{x}\leqslant\mathrm{0}\:\wedge{y}>\mathrm{0}. \\ $$$$\therefore\:{f}\left(\mathrm{5},\mathrm{7}\right)=\left\{{f}\left(\mathrm{0}+\mathrm{7},\mathrm{7}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{0}\right\}+\mathrm{35} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{7},\mathrm{6}\right)+\mathrm{35} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{6},\mathrm{6}\right)+\mathrm{6}+\mathrm{35} \\ $$$${We}\:{see}\:{that}\:{f}\left({x},{y}\right)={f}\left(\mathrm{0},{y}\right)+{xy}\:{if} \\ $$$${x}>\mathrm{0}\:\left(\forall{y}\right).\:{This}\:{is}\:{seen}\:{from}\:{computation} \\ $$$${of}\:{f}\left(\mathrm{5},\mathrm{7}\right)={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{7}\right)+\mathrm{5}×\mathrm{7}. \\ $$$$\therefore\:{f}\left(\mathrm{7},\mathrm{6}\right)={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{6}\right)+\mathrm{6}×\mathrm{7}=\mathrm{42}. \\ $$$$\therefore\:{f}\left(\mathrm{5},\mathrm{7}\right)={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{6}\right)+\mathrm{6}×\mathrm{7}+\mathrm{5}×\mathrm{7} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{6},\mathrm{5}\right)+\mathrm{6}×\mathrm{7}+\mathrm{5}×\mathrm{7} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{5}\right)+\mathrm{6}×\mathrm{5}+\mathrm{6}×\mathrm{7}+\mathrm{5}×\mathrm{7} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{5},\mathrm{4}\right)+\mathrm{30}+\mathrm{42}+\mathrm{35} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{4}\right)+\mathrm{20}+\mathrm{72}+\mathrm{35} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{4},\mathrm{3}\right)+\mathrm{127} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{3}\right)+\mathrm{12}+\mathrm{127} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{3},\mathrm{2}\right)+\mathrm{139} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{2}\right)+\mathrm{6}+\mathrm{139} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{2},\mathrm{1}\right)+\mathrm{145} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}×\mathrm{1}+\mathrm{145} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{1},\mathrm{0}\right)+\mathrm{147} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right)+\mathrm{0}×\mathrm{1}+\mathrm{147} \\ $$$${f}\left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right)\Rightarrow{x},{y}\leqslant\mathrm{0}\Rightarrow{f}\left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}. \\ $$$$\Rightarrow{f}\left(\mathrm{5},\mathrm{7}\right)=\mathrm{147}. \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by Yozzii last updated on 21/Dec/15
f(6,9)=f(5,9)+9 =f(4,9)+9+9 =f(3,9)+9+9+9 =f(2,9)+9+9+9+9 =f(1,9)+5×9 =f(0,9)+6×9 =f(9,8)+54 =f(0,8)+8×9+54 =f(8,7)+72+54 =f(0,7)+8×7+126 =f(7,6)+56+126 =f(0,6)+6×7+182 =f(6,5)+42+182 =f(0,5)+6×5+224 =f(5,4)+254 =f(0,4)+20+254 =f(4,3)+274 =f(0,3)+12+274 =f(3,2)+286 =f(0,2)+6+286 =f(2,1)+292 =f(0,1)+2+292 =f(1,0)+294 =f(0,0)+0+294 =0+294 f(6,9)=294
$${f}\left(\mathrm{6},\mathrm{9}\right)={f}\left(\mathrm{5},\mathrm{9}\right)+\mathrm{9} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{4},\mathrm{9}\right)+\mathrm{9}+\mathrm{9} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{3},\mathrm{9}\right)+\mathrm{9}+\mathrm{9}+\mathrm{9} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{2},\mathrm{9}\right)+\mathrm{9}+\mathrm{9}+\mathrm{9}+\mathrm{9} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{1},\mathrm{9}\right)+\mathrm{5}×\mathrm{9} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{9}\right)+\mathrm{6}×\mathrm{9} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{9},\mathrm{8}\right)+\mathrm{54} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{8}\right)+\mathrm{8}×\mathrm{9}+\mathrm{54} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{8},\mathrm{7}\right)+\mathrm{72}+\mathrm{54} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{7}\right)+\mathrm{8}×\mathrm{7}+\mathrm{126} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{7},\mathrm{6}\right)+\mathrm{56}+\mathrm{126} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{6}\right)+\mathrm{6}×\mathrm{7}+\mathrm{182} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{6},\mathrm{5}\right)+\mathrm{42}+\mathrm{182} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{5}\right)+\mathrm{6}×\mathrm{5}+\mathrm{224} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{5},\mathrm{4}\right)+\mathrm{254} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{4}\right)+\mathrm{20}+\mathrm{254} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{4},\mathrm{3}\right)+\mathrm{274} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{3}\right)+\mathrm{12}+\mathrm{274} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{3},\mathrm{2}\right)+\mathrm{286} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{2}\right)+\mathrm{6}+\mathrm{286} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{2},\mathrm{1}\right)+\mathrm{292} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}+\mathrm{292} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{1},\mathrm{0}\right)+\mathrm{294} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={f}\left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right)+\mathrm{0}+\mathrm{294} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{0}+\mathrm{294} \\ $$$${f}\left(\mathrm{6},\mathrm{9}\right)=\mathrm{294} \\ $$

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