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Question Number 142990 by mathmax by abdo last updated on 08/Jun/21
find ∫_0 ^∞ (e^(−x^2 ) /((3+x^2 )^2 ))dx
$$\mathrm{find}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{3}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$
Answered by qaz last updated on 08/Jun/21
∫_0 ^∞ (e^(−x^2 ) /((3+x^2 )^2 ))dx =∫_0 ^∞ e^(−x^2 ) ∫_0 ^∞ ue^(−u(3+x^2 )) dudx =∫_0 ^∞ ue^(−3u) du∫_0 ^∞ e^(−(u+1)x^2 ) dx =∫_0 ^∞ ue^(−3u) ((Γ((1/2)))/(2(u+1)^(1/2) ))du =((√π)/2)∫_0 ^∞ ((ue^(−3u) )/( (√(u+1))))du =((e^3 (√π))/2)∫_1 ^∞ (((u−1)e^(−3u) )/( (√u)))du =((e^3 (√π))/2)(∫_1 ^∞ (√u)e^(−3u) du−∫_1 ^∞ (e^(−3u) /( (√u)))du) =((e^3 (√π))/2)(−(1/3)(√u)e^(−3u) ∣_1 ^∞ +(1/3)∫_1 ^∞ (e^(−3u) /(2(√u)))du−∫_1 ^∞ (e^(−3u) /( (√u)))du) =((e^3 (√π))/2)((1/3)e^(−3) −(5/6)∫_1 ^∞ (e^(−3u) /( (√u)))du) =((e^3 (√π))/2)((1/3)e^(−3) −(5/(6(√3)))∫_3 ^∞ (e^(−u) /( (√u)))du) ==((e^3 (√π))/2)((1/3)e^(−3) −(5/( 3(√3)))∫_(√3) ^∞ e^(−v^2 ) dv) =((√π)/6)−((5(√3)πe^3 )/(36))erfc((√3))
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{3}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{ue}^{−\mathrm{u}\left(\mathrm{3}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)} \mathrm{dudx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{ue}^{−\mathrm{3u}} \mathrm{du}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\left(\mathrm{u}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{ue}^{−\mathrm{3u}} \frac{\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{u}+\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} }\mathrm{du} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{ue}^{−\mathrm{3u}} }{\:\sqrt{\mathrm{u}+\mathrm{1}}}\mathrm{du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3}} \sqrt{\pi}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{3u}} }{\:\sqrt{\mathrm{u}}}\mathrm{du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3}} \sqrt{\pi}}{\mathrm{2}}\left(\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \sqrt{\mathrm{u}}\mathrm{e}^{−\mathrm{3u}} \mathrm{du}−\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{3u}} }{\:\sqrt{\mathrm{u}}}\mathrm{du}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3}} \sqrt{\pi}}{\mathrm{2}}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{u}}\mathrm{e}^{−\mathrm{3u}} \mid_{\mathrm{1}} ^{\infty} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{3u}} }{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{u}}}\mathrm{du}−\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{3u}} }{\:\sqrt{\mathrm{u}}}\mathrm{du}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3}} \sqrt{\pi}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{−\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{3u}} }{\:\sqrt{\mathrm{u}}}\mathrm{du}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3}} \sqrt{\pi}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{−\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}}\int_{\mathrm{3}} ^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} }{\:\sqrt{\mathrm{u}}}\mathrm{du}\right) \\ $$$$==\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3}} \sqrt{\pi}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{−\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{5}}{\:\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\int_{\sqrt{\mathrm{3}}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{v}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dv}\right) \\ $$$$=\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{3}}\pi\mathrm{e}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{36}}\mathrm{erfc}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\right) \\ $$
Commented by qaz last updated on 08/Jun/21
erf(x)=(2/( (√π)))∫_0 ^x e^(−t^2 ) dt erfc(x)=1−erf(x)=(2/( (√π)))∫_x ^∞ e^(−t^2 ) dt
$$\mathrm{erf}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\pi}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \mathrm{e}^{−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{erfc}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{1}−\mathrm{erf}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\pi}}\int_{\mathrm{x}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dt} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 09/Jun/21
thank you sir.
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Jun/21
parametric method let f(a)=∫_0 ^∞ (e^(−x^2 ) /(x^2 +a^2 )) ⇒f^′ (a)=−2a∫_0 ^∞ (e^(−x^2 ) /((x^2 +a^2 )^2 )) ⇒f^′ ((√3))=−2(√3)∫_0 ^∞ (e^(−x^2 ) /((x^2 +3)^2 )) ⇒∫_0 ^∞ (e^(−x^2 ) /((x^2 +3)^2 ))dx=−(1/(2(√3)))f^′ ((√3)) f(a) =∫_0 ^∞ (∫_0 ^∞ e^(−t(x^2 +a^2 )) dt)e^(−x^2 ) dx =∫_0 ^∞ (∫_0 ^∞ e^(−(t+1)x^2 ) dx)e^(−ta^2 ) dt but ∫_0 ^∞ e^(−(t+1)x^2 ) dx =_((√(t+1))x=u) ∫_0 ^∞ e^(−u^2 ) (du/( (√(t+1)))) =((√π)/(2(√(t+1)))) ⇒ f(a)=((√π)/2)∫_0 ^∞ (e^(−a^2 t) /( (√(t+1))))dt but ∫_0 ^∞ (e^(−a^2 t) /( (√(t+1))))dt =_((√(t+1))=z) ∫_1 ^∞ e^(−a^2 (z^2 −1)) ×(1/z)(2z)dz =2e^a^2 ∫_1 ^∞ e^(−a^2 z^2 ) dz =_(az=α) 2e^a^2 ∫_1 ^∞ e^(−α^2 ) (dα/a) =(2/a)e^a^2 ∫_1 ^∞ e^(−α^2 ) dα let k_0 =∫_1 ^∞ e^(−α^2 ) dα ⇒ f(a)=((√π)/2)((2k_0 )/a)e^a^2 =((k_0 (√π))/a)e^a^2 ⇒ f^′ (a)=k_0 (√π){−(1/a^2 )e^a^2 +((2a)/a)e^a^2 } =k_0 (√π){2e^a^2 −(1/a^2 )e^a^2 } =k_0 (√π)(2−(1/a^2 ))e^a^2 ⇒f^′ ((√3))=k_0 (√π)(2−(1/3))e^3 ⇒ ∫_0 ^∞ (e^(−x^2 ) /((x^2 +3)^2 ))dx =−(1/(2(√3))).k_0 (√π).(5/3)e^3 =−k_0 (√π).(5/(6(√3))) e^3
$$\mathrm{parametric}\:\mathrm{method}\:\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=−\mathrm{2a}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{f}^{'} \left(\sqrt{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)} \mathrm{dt}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dx}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{ta}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dt}\:\:\mathrm{but} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dx}\:=_{\sqrt{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{x}=\mathrm{u}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} } \frac{\mathrm{du}}{\:\sqrt{\mathrm{t}+\mathrm{1}}}\:=\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{t}+\mathrm{1}}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}} }{\:\sqrt{\mathrm{t}+\mathrm{1}}}\mathrm{dt}\:\:\mathrm{but} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}} }{\:\sqrt{\mathrm{t}+\mathrm{1}}}\mathrm{dt}\:=_{\sqrt{\mathrm{t}+\mathrm{1}}=\mathrm{z}} \:\:\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)} ×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}}\left(\mathrm{2z}\right)\mathrm{dz} \\ $$$$=\mathrm{2e}^{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dz}\:=_{\mathrm{az}=\alpha} \:\mathrm{2e}^{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\alpha^{\mathrm{2}} } \frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{a}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}}\mathrm{e}^{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \:\:\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\alpha^{\mathrm{2}} } \mathrm{d}\alpha\:\mathrm{let}\:\mathrm{k}_{\mathrm{0}} =\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\alpha^{\mathrm{2}} } \mathrm{d}\alpha\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{2k}_{\mathrm{0}} }{\mathrm{a}}\mathrm{e}^{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \:\:=\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{0}} \sqrt{\pi}}{\mathrm{a}}\mathrm{e}^{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{k}_{\mathrm{0}} \sqrt{\pi}\left\{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } +\frac{\mathrm{2a}}{\mathrm{a}}\mathrm{e}^{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \right\}\:=\mathrm{k}_{\mathrm{0}} \sqrt{\pi}\left\{\mathrm{2e}^{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \right\} \\ $$$$=\mathrm{k}_{\mathrm{0}} \sqrt{\pi}\left(\mathrm{2}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{e}^{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{k}_{\mathrm{0}} \sqrt{\pi}\left(\mathrm{2}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{3}} \:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}.\mathrm{k}_{\mathrm{0}} \sqrt{\pi}.\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{3}} \:=−\mathrm{k}_{\mathrm{0}} \sqrt{\pi}.\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{3}} \\ $$

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