Question Number 4751 by Yozzii last updated on 04/Mar/16
$${Find}\:{all}\:{functions}\:{h}:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\:{such}\:{that} \\ $$$${h}\left({x}+{y}\right)+{h}\left({xy}\right)={h}\left({x}\right){h}\left({y}\right)+\mathrm{1} \\ $$$${for}\:{all}\:{x},{y}\in\mathbb{Z}. \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 06/Mar/16
$${y}=\mathrm{0} \\ $$$${h}\left({x}\right)+{h}\left(\mathrm{0}\right)={h}\left({x}\right){h}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{1} \\ $$$${h}\left({x}\right)\left(\mathrm{1}−{h}\left(\mathrm{0}\right)\right)=\mathrm{1}−{h}\left(\mathrm{0}\right) \\ $$$$\Rightarrow{h}\left({x}\right)=\mathrm{1}\:{or}\:{h}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{One}\:\mathrm{solution}\:{h}\left({x}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${case}\:\mathrm{2}:\:{h}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${y}=−{x} \\ $$$${h}\left(\mathrm{0}\right)+{h}\left(−{x}^{\mathrm{2}} \right)=\left[{h}\left({x}\right)\right]\left[{h}\left(−{x}\right)\right]+\mathrm{1} \\ $$$${h}\left({x}\right){h}\left(−{x}\right)={h}\left(−{x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 07/Mar/16
$$\mathrm{Since}\:\mathrm{only}\:\mathrm{integers}\:\mathrm{are}\:\mathrm{required}\: \\ $$$${h}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${x}=\mathrm{1},{y}=−\mathrm{1} \\ $$$${h}\left(\mathrm{0}\right)+{h}\left(−\mathrm{1}\right)={h}\left(\mathrm{1}\right){h}\left(−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\Rightarrow{h}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}\:{or}\:{h}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${case}\:{h}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{h}\left({n}+\mathrm{1}\right)+{h}\left({n}\right)={h}\left({n}\right){h}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{h}\left({n}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow{h}\left({x}\right)=\mathrm{1}\:{for}\:{x}\geqslant\mathrm{0}\:\:\:…\left({A}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{Let}\:{h}\left(−\mathrm{1}\right)={k} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{x}=−\mathrm{2},{y}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{h}\left(−\mathrm{1}\right)+{h}\left(−\mathrm{2}\right)={h}\left(−\mathrm{1}\right){h}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{h}\left(−\mathrm{2}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{x}=−\mathrm{1},{y}=−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{h}\left(−\mathrm{2}\right)+{h}\left(\mathrm{1}\right)={h}\left(−\mathrm{1}\right){h}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{h}\left(−\mathrm{2}\right)={k} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{x}=\mathrm{1},{y}=−\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{h}\left(−\mathrm{2}\right)+{h}\left(−\mathrm{3}\right)={h}\left(−\mathrm{3}\right){h}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{h}\left(−\mathrm{2}\right)=\mathrm{1}\Rightarrow{k}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{x}=−\mathrm{2},{y}=−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{h}\left(−\mathrm{3}\right)+{h}\left(\mathrm{2}\right)={h}\left(−\mathrm{2}\right){h}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\Rightarrow{h}\left(−\mathrm{3}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{if}\:{h}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}\Rightarrow{h}\left({x}\right)=\mathrm{1}\:\forall{x}\in\mathbb{Z} \\ $$$${case}\:{h}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Corrections}\:\mathrm{in}\:\mathrm{blue}. \\ $$$$\:\:\:\:\:{x}=\mathrm{2},{y}=−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:{h}\left(\mathrm{1}\right)+{h}\left(−\mathrm{2}\right)={h}\left(\mathrm{2}\right){h}\left(−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:{x}=−{n},{y}=−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:{h}\left(−{n}−\mathrm{1}\right)+{h}\left(−{n}\right)={h}\left(−{n}\right){h}\left(−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:{h}\left(−{n}−\mathrm{1}\right)=−{h}\left(−{n}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{The}\:\mathrm{above}\:\mathrm{line}\:\mathrm{also}\:\mathrm{wrong}\:{h}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:{h}\left(−{n}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}−{h}\left(−{n}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\Rightarrow{h}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}\:\left({wrong}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\Rightarrow{h}\left({x}\right)=\mathrm{1}\:{contradicts}\:{h}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:{too}\:{many}\:{mistakes}\:{in}\:{handling}\:{h}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:{will}\:{redo}. \\ $$$$\mathrm{So}\:\mathrm{it}\:\mathrm{looks}\:\mathrm{like}\:{h}\left({x}\right)=\mathrm{1}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{only}\:\mathrm{solution}. \\ $$$$\mathrm{Are}\:\mathrm{there}\:\mathrm{any}\:\mathrm{other}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{in}\:\mathrm{answer}? \\ $$
Commented by Yozzii last updated on 07/Mar/16
$$\left(\mathrm{1}\right)\:{h}\left({n}\right)=\mathrm{1}\:\left({n}\in\mathbb{Z}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:{h}\left(\mathrm{2}{n}\right)=\mathrm{1};{h}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\:\left({n}\in\mathbb{Z}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:{h}\left({n}\right)={n}+\mathrm{1}\:\:\left({n}\in\mathbb{Z}\right) \\ $$$${I}'{m}\:{trying}\:{out}\:{national}\:{olympiad} \\ $$$${questions}\:\left({year}:\mathrm{1999}\right)\:{from}\:{a}\:{QandA}\: \\ $$$${book}.\:{So},\:{I}'{m}\:{sharing}\:{those}\:{which} \\ $$$${I}\:{hope}\:{to}\:{try}\:{with}\:{some}\:{degree}\:{of}\: \\ $$$${success}. \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 07/Mar/16
$$\mathrm{I}\:\mathrm{will}\:\mathrm{check}\:\mathrm{for}\:\mathrm{mistakes}\:\mathrm{in}\:\mathrm{my}\:\mathrm{arguments}. \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{thin}\:\mathrm{mistake}\:\mathrm{may}\:\mathrm{be}\:\mathrm{in}\:\mathrm{handling}\:\mathrm{the}\:\mathrm{case} \\ $$$${h}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 07/Mar/16
$${h}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{case}\:{h}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${h}\left({x}+{y}\right)+{h}\left({xy}\right)={h}\left({x}\right){h}\left({y}\right)+\mathrm{1} \\ $$$${x}={n},{y}=−\mathrm{1} \\ $$$${h}\left({n}−\mathrm{1}\right)+{h}\left(−{n}\right)={h}\left({n}\right){h}\left(−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$$${h}\left({n}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}−{h}\left(−{n}\right) \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{above}\:\mathrm{is}\:\mathrm{linear}\:\mathrm{equation} \\ $$$${solution}\:{a}: \\ $$$${h}\left({n}\right)={an}+{b} \\ $$$${a}\left({n}−\mathrm{1}\right)+{b}=\mathrm{1}−\left(−{an}+{b}\right) \\ $$$${an}−{a}+{b}=\mathrm{1}+{an}−{b} \\ $$$$−{a}+{b}=\mathrm{1}−{b}\Rightarrow{b}=\frac{\mathrm{1}+{a}}{\mathrm{2}} \\ $$$${h}\left({n}\right)={an}+\frac{\mathrm{1}+{a}}{\mathrm{2}} \\ $$$${h}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{0}=−{a}+\frac{\mathrm{1}+{a}}{\mathrm{2}}\Rightarrow{a}=\mathrm{1} \\ $$$${h}\left({n}\right)={n}+\mathrm{1}\:\left({solution}\:{a}\right) \\ $$$${h}\left({x}+{y}\right)+{h}\left({xy}\right)={h}\left({x}\right){h}\left({y}\right)+\mathrm{1} \\ $$$${x}+{y}+\mathrm{1}+\left({xy}+\mathrm{1}\right)=\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({y}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$${h}\left(−{n}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}−{h}\left(−{n}\right) \\ $$$$\mathrm{or}\:{h}\left({n}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}−{h}\left({n}\right)\:\:\mathrm{given}\:{h}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0},{h}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${h}\left({n}\right)=\mathrm{1}−{h}\left({n}−\mathrm{1}\right) \\ $$$${h}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}−{h}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${h}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{1}−{h}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${or}\:{h}\left({n}\right)=\begin{cases}{\mathrm{0}\:{n}\:{odd}}\\{\mathrm{1}\:{n}\:{even}}\end{cases} \\ $$
Commented by Yozzii last updated on 07/Mar/16
$${Looks}\:{like}\:{thats}\:{one}\:{approach}\:{to}\: \\ $$$${figuring}\:{out}\:{the}\:{answer}.\:{Nice}! \\ $$