Question Number 3965 by Yozzii last updated on 25/Dec/15
$${Find}\:{det}\left({A}\right)\:{where}\:{A}\:{is}\:{an}\:{n}×{n}\:{matrix} \\ $$$${of}\:{the}\:{form}\: \\ $$$${A}=\begin{pmatrix}{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\ldots}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{pmatrix} \\ $$$$\lambda={constant}\:{for}\:{leading}\:{diagonal}\:{elements} \\ $$$$\mathrm{1}{s}\:{for}\:{all}\:{other}\:{elements}. \\ $$$$ \\ $$
Commented by 123456 last updated on 25/Dec/15
$$\left(\lambda+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\lambda^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\lambda+\mathrm{1}−\mathrm{1}=\lambda\left(\lambda+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\lambda+\mathrm{1}−\mathrm{1}=\lambda \\ $$$$\left(\lambda+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\lambda^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\lambda−\mathrm{4}−\mathrm{1}=\lambda^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\lambda−\mathrm{5} \\ $$$$\vdots \\ $$
Answered by 123456 last updated on 25/Dec/15
$${A}=\begin{vmatrix}{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix} \\ $$$${A}=\frac{\mathrm{1}}{\lambda^{{n}−\mathrm{1}} }\begin{vmatrix}{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\lambda}&{\lambda^{\mathrm{2}} }&{\lambda}&{\ldots}&{\lambda}\\{\lambda}&{\lambda}&{\lambda^{\mathrm{2}} }&{\ldots}&{\lambda}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\lambda}\\{\lambda}&{\lambda}&{\lambda}&{\lambda}&{\lambda^{\mathrm{2}} }\end{vmatrix} \\ $$$${A}=\frac{\mathrm{1}}{\lambda^{{n}−\mathrm{1}} }\begin{vmatrix}{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\lambda^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}&{\lambda−\mathrm{1}}&{\ldots}&{\lambda−\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\lambda−\mathrm{1}}&{\lambda^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}&{\ldots}&{\lambda−\mathrm{1}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\lambda−\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\lambda−\mathrm{1}}&{\lambda−\mathrm{1}}&{\lambda−\mathrm{1}}&{\lambda^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\end{vmatrix} \\ $$$${A}=\left(\frac{\lambda−\mathrm{1}}{\lambda}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \begin{vmatrix}{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\lambda+\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{1}}&{\lambda+\mathrm{1}}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda+\mathrm{1}}\end{vmatrix} \\ $$$${A}=\left(\frac{\lambda−\mathrm{1}}{\lambda}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\left(\lambda+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{2}} }\begin{vmatrix}{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\lambda+\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\lambda+\mathrm{1}}&{\left(\lambda+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }&{\ldots}&{\lambda+\mathrm{1}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\lambda+\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\lambda+\mathrm{1}}&{\lambda+\mathrm{1}}&{\lambda+\mathrm{1}}&{\left(\lambda+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\end{vmatrix} \\ $$$${A}=\left(\frac{\lambda−\mathrm{1}}{\lambda}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\left(\lambda+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{2}} }\begin{vmatrix}{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\lambda+\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\lambda\left(\lambda+\mathrm{2}\right)}&{\ldots}&{\lambda}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\lambda}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\lambda}&{\lambda}&{\lambda\left(\lambda+\mathrm{2}\right)}\end{vmatrix} \\ $$$${A}=\left(\frac{\lambda−\mathrm{1}}{\lambda}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \frac{\lambda}{\left(\lambda+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{2}} }\begin{vmatrix}{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\lambda+\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\lambda+\mathrm{2}}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda+\mathrm{2}}\end{vmatrix} \\ $$$$\mathrm{continue} \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 25/Dec/15
![From the line in above A=(((λ−1)/λ))^(n−1) determinant ((λ,1,1,…,1),(0,(λ+1),1,…,1),(0,1,(λ+1),…,1),(⋮,⋮,⋮,⋱,1),(0,1,1,1,(λ+1))) Let us say D(λ,n) is the determinant. D(λ,n)=(((λ−1)^(n−1) )/λ^(n−2) )D(λ+1,n−1) D(λ,2)=λ^2 −1=(λ−1)(λ+1) D(λ,3)=(((λ−1)^2 )/λ)D(λ+1,2)=(((λ−1)^2 )/λ)[(λ+1)^2 −1] =(λ−1)^2 (λ+2) D(λ,4)=(((λ−1)^3 )/λ^2 )λ^2 (λ+3)=(λ−1)^3 (λ+3) D(λ,n)=(λ−1)^(n−1) (λ+n−1)](https://www.tinkutara.com/question/Q3968.png)
$$\mathrm{From}\:\mathrm{the}\:\mathrm{line}\:\mathrm{in}\:\mathrm{above} \\ $$$${A}=\left(\frac{\lambda−\mathrm{1}}{\lambda}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \begin{vmatrix}{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\lambda+\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{1}}&{\lambda+\mathrm{1}}&{\ldots}&{\mathrm{1}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda+\mathrm{1}}\end{vmatrix} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{us}\:\mathrm{say}\:\mathrm{D}\left(\lambda,{n}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{determinant}. \\ $$$$\mathrm{D}\left(\lambda,{n}\right)=\frac{\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{\lambda^{{n}−\mathrm{2}} }{D}\left(\lambda+\mathrm{1},{n}−\mathrm{1}\right) \\ $$$${D}\left(\lambda,\mathrm{2}\right)=\lambda^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\left(\lambda−\mathrm{1}\right)\left(\lambda+\mathrm{1}\right) \\ $$$${D}\left(\lambda,\mathrm{3}\right)=\frac{\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\lambda}{D}\left(\lambda+\mathrm{1},\mathrm{2}\right)=\frac{\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\lambda}\left[\left(\lambda+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right] \\ $$$$=\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\lambda+\mathrm{2}\right) \\ $$$${D}\left(\lambda,\mathrm{4}\right)=\frac{\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }{\lambda^{\mathrm{2}} }\lambda^{\mathrm{2}} \left(\lambda+\mathrm{3}\right)=\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left(\lambda+\mathrm{3}\right) \\ $$$${D}\left(\lambda,{n}\right)=\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left(\lambda+{n}−\mathrm{1}\right) \\ $$
Commented by Yozzii last updated on 25/Dec/15
$${It}\:{should}\:{be}\:{D}\left(\lambda,{n}\right)=\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left(\lambda+{n}−\mathrm{1}\right)\:? \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 25/Dec/15
$${yes}.\:{corrected}. \\ $$
Answered by Yozzii last updated on 26/Dec/15
![Perhaps some sort of recursive formula for ∣A_n ∣ could be found? n=2: A_2 = ((λ,1),(1,λ) )⇒∣A_2 ∣=λ^2 −1 n=3: A_3 = ((λ,1,1),(1,λ,1),(1,1,λ) ) ⇒∣A_3 ∣=λ determinant ((λ,1),(1,λ))− determinant ((1,1),(1,λ))+ determinant ((1,λ),(1,1)) Now, − determinant ((1,1),(1,λ))= determinant ((1,λ),(1,1)) and determinant ((λ,1),(1,λ))=∣A_2 ∣. ∴ ∣A_3 ∣=λ∣A_2 ∣−2 determinant ((1,1),(1,λ)) ∣A_3 ∣=λ∣A_2 ∣−2(λ−1) ∣A_3 ∣=λ(λ^2 −1)−2(λ−1)=(λ−1)(λ^2 +λ−2) n=4:A_4 = ((λ,1,1,1),(1,λ,1,1),(1,1,λ,1),(1,1,1,λ) ) ∣A_4 ∣=λ determinant ((λ,1,1),(1,λ,1),(1,1,λ))− determinant ((1,1,1),(1,λ,1),(1,1,λ))+ determinant ((1,λ,1),(1,1,1),(1,1,λ))− determinant ((1,λ,1),(1,1,λ),(1,1,1)) Also, determinant ((1,λ,1),(1,1,1),(1,1,λ))=− determinant ((1,1,1),(1,λ,1),(1,1,λ))=− determinant ((1,λ,1),(1,1,λ),(1,1,1)) and A_3 = determinant ((λ,1,1),(1,λ,1),(1,1,λ)). determinant ((1,1,1),(1,λ,1),(1,1,λ))=1×(λ−1)(λ+1)−2(λ−1) =(λ−1)(λ+1−1−1) =(λ−1)^2 ∴∣A_4 ∣=λ∣A_3 ∣−3 determinant ((1,1,1),(1,λ,1),(1,1,λ)) ∣A_4 ∣=λ∣A_3 ∣−3(λ−1)^2 n=5: A_5 = ((λ,1,1,1,1),(1,λ,1,1,1),(1,1,λ,1,1),(1,1,1,λ,1),(1,1,1,1,λ) ) ∣A_5 ∣=λ∣A_4 ∣− determinant ((1,1,1,1),(1,λ,1,1),(1,1,λ,1),(1,1,1,λ))+ determinant ((1,λ,1,1),(1,1,1,1),(1,1,λ,1),(1,1,1,λ))− determinant ((1,λ,1,1),(1,1,λ,1),(1,1,1,1),(1,1,1,λ))+ determinant ((1,λ,1,1),(1,1,λ,1),(1,1,1,λ),(1,1,1,1)) It can be shown that ∣A_5 ∣=λ∣A_4 ∣−4 determinant ((1,1,1,1),(1,λ,1,1),(1,1,λ,1),(1,1,1,λ)). determinant ((1,1,1,1),(1,λ,1,1),(1,1,λ,1),(1,1,1,λ))=1×∣A_3 ∣−3 determinant ((1,1,1),(1,λ,1),(1,1,λ)) =(λ−1)[(λ^2 −2λ+1)] =(λ−1)^3 ∴∣A_5 ∣=λ∣A_4 ∣−4(λ−1)^3 . I conject that ∣A_(n+1) ∣=λ∣A_n ∣−n(λ−1)^(n−1) (n≥2) A_2 =λ^2 −1. This is like u_(n+1) =λu_n −n(λ−1)^(n−1) (n≥2). From Mr. Jain′s contribution, ∣A_n ∣=(λ−1)^(n−1) (λ+n−1)=D(λ,n) By my recurrence relation, ∣A_(n+1) ∣=λ(λ−1)^(n−1) (λ+n−1)−n(λ−1)^(n−1) ∣A_(n+1) ∣=(λ−1)^(n−1) (λ^2 +(n−1)λ−n) ∣A_(n+1) ∣=(λ−1)^(n−1) (λ(λ−1)+n(λ−1)) ∣A_(n+1) ∣=(λ−1)^n (λ+n)=D(λ,n+1)](https://www.tinkutara.com/question/Q3970.png)
$${Perhaps}\:{some}\:{sort}\:{of}\:{recursive}\: \\ $$$${formula}\:{for}\:\mid{A}_{{n}} \mid\:{could}\:{be}\:{found}?\: \\ $$$${n}=\mathrm{2}:\:{A}_{\mathrm{2}} =\begin{pmatrix}{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{pmatrix}\Rightarrow\mid{A}_{\mathrm{2}} \mid=\lambda^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$$${n}=\mathrm{3}:\:{A}_{\mathrm{3}} =\begin{pmatrix}{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{pmatrix} \\ $$$$\Rightarrow\mid{A}_{\mathrm{3}} \mid=\lambda\begin{vmatrix}{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix}−\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\lambda}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\end{vmatrix} \\ $$$${Now},\:−\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\lambda}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\end{vmatrix} \\ $$$${and}\:\begin{vmatrix}{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix}=\mid{A}_{\mathrm{2}} \mid. \\ $$$$\therefore\:\mid{A}_{\mathrm{3}} \mid=\lambda\mid{A}_{\mathrm{2}} \mid−\mathrm{2}\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix} \\ $$$$\mid{A}_{\mathrm{3}} \mid=\lambda\mid{A}_{\mathrm{2}} \mid−\mathrm{2}\left(\lambda−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mid{A}_{\mathrm{3}} \mid=\lambda\left(\lambda^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}\left(\lambda−\mathrm{1}\right)=\left(\lambda−\mathrm{1}\right)\left(\lambda^{\mathrm{2}} +\lambda−\mathrm{2}\right) \\ $$$${n}=\mathrm{4}:{A}_{\mathrm{4}} =\begin{pmatrix}{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{pmatrix} \\ $$$$\mid{A}_{\mathrm{4}} \mid=\lambda\begin{vmatrix}{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix}−\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix}−\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\end{vmatrix} \\ $$$${Also},\:\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix}=−\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix}=−\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\end{vmatrix} \\ $$$${and}\:{A}_{\mathrm{3}} =\begin{vmatrix}{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix}. \\ $$$$\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix}=\mathrm{1}×\left(\lambda−\mathrm{1}\right)\left(\lambda+\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}\left(\lambda−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\lambda−\mathrm{1}\right)\left(\lambda+\mathrm{1}−\mathrm{1}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\therefore\mid{A}_{\mathrm{4}} \mid=\lambda\mid{A}_{\mathrm{3}} \mid−\mathrm{3}\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix} \\ $$$$\mid{A}_{\mathrm{4}} \mid=\lambda\mid{A}_{\mathrm{3}} \mid−\mathrm{3}\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$${n}=\mathrm{5}:\:{A}_{\mathrm{5}} =\begin{pmatrix}{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{pmatrix} \\ $$$$\mid{A}_{\mathrm{5}} \mid=\lambda\mid{A}_{\mathrm{4}} \mid−\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix}−\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\end{vmatrix} \\ $$$${It}\:{can}\:{be}\:{shown}\:{that}\:\mid{A}_{\mathrm{5}} \mid=\lambda\mid{A}_{\mathrm{4}} \mid−\mathrm{4}\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix}. \\ $$$$\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix}=\mathrm{1}×\mid{A}_{\mathrm{3}} \mid−\mathrm{3}\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\lambda}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{\lambda}\end{vmatrix} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\lambda−\mathrm{1}\right)\left[\left(\lambda^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\lambda+\mathrm{1}\right)\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\therefore\mid{A}_{\mathrm{5}} \mid=\lambda\mid{A}_{\mathrm{4}} \mid−\mathrm{4}\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} . \\ $$$${I}\:{conject}\:{that}\:\mid{A}_{{n}+\mathrm{1}} \mid=\lambda\mid{A}_{{n}} \mid−{n}\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \:\:\left({n}\geqslant\mathrm{2}\right) \\ $$$${A}_{\mathrm{2}} =\lambda^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}.\: \\ $$$$ \\ $$$${This}\:{is}\:{like}\:{u}_{{n}+\mathrm{1}} =\lambda{u}_{{n}} −{n}\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \:\left({n}\geqslant\mathrm{2}\right). \\ $$$$ \\ $$$${From}\:{Mr}.\:{Jain}'{s}\:{contribution}, \\ $$$$\mid{A}_{{n}} \mid=\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left(\lambda+{n}−\mathrm{1}\right)={D}\left(\lambda,{n}\right) \\ $$$${By}\:{my}\:{recurrence}\:{relation}, \\ $$$$\mid{A}_{{n}+\mathrm{1}} \mid=\lambda\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left(\lambda+{n}−\mathrm{1}\right)−{n}\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mid{A}_{{n}+\mathrm{1}} \mid=\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left(\lambda^{\mathrm{2}} +\left({n}−\mathrm{1}\right)\lambda−{n}\right) \\ $$$$\mid{A}_{{n}+\mathrm{1}} \mid=\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left(\lambda\left(\lambda−\mathrm{1}\right)+{n}\left(\lambda−\mathrm{1}\right)\right) \\ $$$$\mid{A}_{{n}+\mathrm{1}} \mid=\left(\lambda−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left(\lambda+{n}\right)={D}\left(\lambda,{n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$
Commented by Yozzii last updated on 26/Dec/15
$${I}\:{had}\:{hoped}\:{of}\:{solving}\:{the}\:{recursive} \\ $$$${formula}\:{for}\:\mid{A}_{{n}} \mid…{Generating}\:{function}? \\ $$