Question Number 8025 by Nayon last updated on 28/Sep/16
$${find}\:{factor}\:{of}\:\gg \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{2}^{\mathrm{4}{n}+\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$${at}\:{the}\:{same}\:{way}\:{expand}\:\mathrm{2}^{\mathrm{58}} +\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$
Commented by Rasheed Soomro last updated on 28/Sep/16
$$\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{4}{n}+\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}−\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}+\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{58}} +\mathrm{1}=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{29}} \right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{29}} \right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{29}} \right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{29}} \right)\left(\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{29}} \right)\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{29}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2}^{\mathrm{15}} \right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{29}} +\mathrm{1}−\mathrm{2}^{\mathrm{15}} \right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{29}} +\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{15}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{29}} −\mathrm{2}^{\mathrm{15}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{29}} +\mathrm{2}^{\mathrm{15}} +\mathrm{1}\right) \\ $$
Answered by prakash jain last updated on 02/Oct/16
$$\mathrm{answer}\:\mathrm{in}\:\mathrm{comments} \\ $$