Question Number 142167 by iloveisrael last updated on 27/May/21
$$\:\:\:{Find}\:{max}\:\&\:{min}\:{of}\:{function} \\ $$$$\:\:{f}\left({x}\right)=\mathrm{4tan}\:{x}+\mathrm{3cot}\:{x} \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 27/May/21
$$−\infty<\mathrm{tan}\:{x}\:<+\infty\:\Rightarrow\:\mathrm{no}\:\mathrm{absolute}\:\mathrm{min},\:\mathrm{max} \\ $$$${g}\left({t}\right)=\mathrm{4}{t}+\frac{\mathrm{3}}{{t}} \\ $$$${g}'\left({t}\right)=\mathrm{4}−\frac{\mathrm{3}}{{t}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\:\mathrm{4}{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}=\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\:{t}=\pm\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${g}''\left({t}\right)=\frac{\mathrm{6}}{{t}^{\mathrm{3}} } \\ $$$${g}''\left(−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{g}\left({t}\right)\:\mathrm{has}\:\mathrm{a}\:\mathrm{local}\:\mathrm{max}\:\mathrm{at}\:\left(−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}},\:−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right) \\ $$$${g}''\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)>\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{g}\left({t}\right)\:\mathrm{has}\:\mathrm{a}\:\mathrm{local}\:\mathrm{min}\:\mathrm{at}\:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}},\:\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${f}\left({x}\right)\:\mathrm{has}\:\mathrm{local}\:\mathrm{maxima}\:\mathrm{when}\:\mathrm{tan}\:{x}\:=−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${f}\left({x}\right)\:\mathrm{has}\:\mathrm{local}\:\mathrm{minima}\:\mathrm{when}\:\mathrm{tan}\:{x}\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$