Question Number 133346 by bramlexs22 last updated on 21/Feb/21
$$\:\mathrm{Find}\:\mathrm{modulus}\:\mathrm{and}\:\mathrm{argumen}\:\mathrm{of}\: \\ $$$$\:\mathrm{z}\:=\:\frac{\left(\mathrm{1}−{i}\right)^{\mathrm{4}} \left(\sqrt{\mathrm{3}}+{i}\right)^{\mathrm{7}} }{\left(\mathrm{1}+{i}\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{8}} \left(−\mathrm{1}−{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{12}} } \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Feb/21
$$\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\left(\mathrm{1}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{4}} \left(\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{7}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{8}} \left(−\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{12}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{z}\:=\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\:\mid\mathrm{z}\mid=\frac{\mid\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mid}{\mid\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \mid}\:\mathrm{and}\:\mathrm{arg}\left(\mathrm{z}\right)\sim\mathrm{arg}\left(\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)−\mathrm{arg}\left(\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)\left[\mathrm{2}\pi\right] \\ $$$$\mid\mathrm{1}−\mathrm{i}\mid\:=\sqrt{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{1}−\mathrm{i}\:=\sqrt{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)=\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \:\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{4}} \:=\left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{4}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\pi} \\ $$$$\mid\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{i}\mid=\mathrm{2}\:\Rightarrow\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{i}\:=\mathrm{2}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\right)\:=\mathrm{2e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \:\Rightarrow\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{7}} \:=\mathrm{2}^{\mathrm{7}} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i7}\pi}{\mathrm{6}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}^{\mathrm{9}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\pi} .\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{6}}} \:=\mathrm{2}^{\mathrm{9}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{6}}−\pi\right)} \:=\mathrm{2}^{\mathrm{9}} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} \\ $$$$\mid\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{2}}\mid=\sqrt{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{2}}=\sqrt{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:=\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{iarctan}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{8}} \:=\left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{8}\:} .\mathrm{e}^{\mathrm{8iarctan}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$\mid−\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\mid\:=\mathrm{2}\:\Rightarrow−\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}=\mathrm{2}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\mathrm{i}\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\:=\mathrm{2e}^{−\frac{\mathrm{i4}\pi}{\mathrm{3}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\left(−\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{12}} \:=\mathrm{2}^{\mathrm{12}} .\mathrm{e}^{−\mathrm{i16}\pi} \:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =\left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{8}} \:.\mathrm{e}^{\mathrm{8iarctan}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)} .\mathrm{2}^{\mathrm{12}} \:.\mathrm{e}^{−\mathrm{16i}\pi} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{z}\:=\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{9}} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{6}}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{12}} .\left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{8}} \:.\mathrm{e}^{\mathrm{8iarctan}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}.\left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{8}} }\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\pi}{\mathrm{6}}−\mathrm{8arctan}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right)} \:\Rightarrow \\ $$$$\mid\mathrm{z}\mid=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}.\left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{8}} }\:\mathrm{and}\:\mathrm{arg}\left(\mathrm{z}\right)\sim\:\frac{\pi}{\mathrm{6}}−\mathrm{8arctan}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)\:\left[\mathrm{2}\pi\right] \\ $$