Question Number 135424 by benjo_mathlover last updated on 13/Mar/21
$${Find}\:{solution}\:{set}\:{the}\:{inequality} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{5}}\:+\:\sqrt{\mathrm{25}−\mathrm{3}{x}}\:>\:{x} \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 13/Mar/21
$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{2x}−\mathrm{5}\geqslant\mathrm{0}\rightarrow\mathrm{x}\geqslant\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{3x}−\mathrm{25}\leqslant\mathrm{0}\rightarrow\mathrm{x}\leqslant\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\sqrt{\mathrm{25}−\mathrm{3x}}\:>\:\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{2x}−\mathrm{5}}\: \\ $$$$\rightarrow\:\mathrm{25}−\mathrm{3x}\:>\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}\sqrt{\mathrm{2x}−\mathrm{5}}\:+\mathrm{2x}−\mathrm{5} \\ $$$$\rightarrow\mathrm{20}−\mathrm{5x}\:>\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}\sqrt{\mathrm{2x}−\mathrm{5}}\: \\ $$$$\rightarrow\mathrm{2x}\sqrt{\mathrm{2x}−\mathrm{5}}\:>\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5x}−\mathrm{20} \\ $$$$\left.\Rightarrow\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{5}\right)\:>\:\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{25x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{400}+\mathrm{10x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{40x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{200x} \\ $$$$\rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{10x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{19x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{198x}+\mathrm{405}\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\rightarrow\left(\mathrm{x}+\mathrm{9}.\mathrm{21}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{6}.\mathrm{18}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}.\mathrm{28}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}.\mathrm{11}\right)<\mathrm{0} \\ $$$$\rightarrow−\mathrm{9}.\mathrm{21}<\mathrm{x}<−\mathrm{6}.\mathrm{18}\:\cup\:\mathrm{2}.\mathrm{28}<\mathrm{x}<\mathrm{3}.\mathrm{11} \\ $$$$\mathrm{solution}\:\mathrm{set}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{from}\:\left(\mathrm{1}\right)\cap\left(\mathrm{2}\right)\cap\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\:\leqslant\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{3}.\mathrm{11}\:\mathrm{or}\:\left[\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\:;\:\mathrm{3}.\mathrm{11}\:\right) \\ $$