Question Number 78119 by jagoll last updated on 14/Jan/20
$${find}\:{the}\:{center}\:{point}\:{ellips} \\ $$$$\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24}{x}−\mathrm{24}{y}+\mathrm{4}{xy}=\mathrm{0} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 14/Jan/20
$${this}\:{problem}\:{is}\:{right}\:{or}\:{not}? \\ $$
Commented by mr W last updated on 14/Jan/20
$${question}\:{is}\:{right}\:{and}\:{good}. \\ $$
Commented by MJS last updated on 14/Jan/20
$$\mathrm{solving}\:\mathrm{for}\:{x}: \\ $$$${x}=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}{y}+\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{5}}\pm\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{5}}\sqrt{−{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{y}+\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{defined}\:\mathrm{for}\:\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{5}}\leqslant{y}\leqslant\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\:{y}−\mathrm{coordinate}\:\mathrm{of}\:\mathrm{center}\:=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{solving}\:\mathrm{for}\:{y}: \\ $$$${y}=−\frac{{x}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\pm\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\sqrt{−{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{xl}+\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{defined}\:\mathrm{for}\:\mathrm{2}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{2}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\:{x}−\mathrm{coordinate}\:\mathrm{of}\:\mathrm{center}\:=\mathrm{2} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 14/Jan/20
$${thanks}\:{sir}\: \\ $$
Commented by jagoll last updated on 14/Jan/20
$${finally}\:{the}\:{center}\:{point}\:{at}\:\left(\mathrm{2},\mathrm{1}\right) \\ $$
Commented by MJS last updated on 14/Jan/20
$$\mathrm{yes} \\ $$
Answered by mr W last updated on 15/Jan/20
$${if}\:{you}\:{don}'{t}\:{like}\:{to}\:{learn}\:{too}\:{many} \\ $$$${formulas},\:{you}\:{can}\:{determine}\:{the} \\ $$$${parameters}\:{of}\:{the}\:{ellipse}\:{in}\:{following} \\ $$$${way}: \\ $$$$ \\ $$$${step}\:\mathrm{1}:\:{determine}\:{center}\:{point} \\ $$$${that}\:{means}\:{to}\:{determine}\:{the}\:{range}\:{of} \\ $$$${x}\:{and}\:{y}\:{ordinates}.\:\left({see}\:{also}\:{sir}\:{MJS}'\:{post}\right) \\ $$$${we}\:{form}\:{eqn}.\:{as}\:{quadratic}\:{eqn}.\:{w}.{r}.{t}.\:{y}: \\ $$$$\mathrm{8}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\left({x}−\mathrm{6}\right){y}+\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24}{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta=\mathrm{4}^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{6}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}×\mathrm{8}×\left(\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24}{x}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{6}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24}{x}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$−{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}−\mathrm{4}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{2}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{x}_{{C}} =\mathrm{2} \\ $$$${we}\:{form}\:{eqn}.\:{as}\:{quadratic}\:{eqn}.\:{w}.{r}.{t}.\:{x}: \\ $$$$\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\left({y}−\mathrm{6}\right){x}+\mathrm{8}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24}{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta=\mathrm{4}^{\mathrm{2}} \left({y}−\mathrm{6}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}×\mathrm{5}\left(\mathrm{8}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24}{y}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\left({y}−\mathrm{6}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\left(\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{y}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$−{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{y}+\mathrm{4}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$${y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{y}−\mathrm{4}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\left({y}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{5}}\leqslant{y}\leqslant\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$\Rightarrow{y}_{{C}} =\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{center}\:{point}\:{of}\:{ellipse}\:{is}\:{C}\left(\mathrm{2},\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$$${step}\:\mathrm{2}:\:{make}\:{the}\:{center}\:{point}\:{as}\:{origin} \\ $$$${replace}\:{x}\:{with}\:{x}+{x}_{{C}} \:{and}\:{y}\:{with}\:{y}+{y}_{{C}} \\ $$$${in}\:{the}\:{eqn}. \\ $$$$\mathrm{5}\left({x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}\left({y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{24}\left({x}+\mathrm{2}\right)−\mathrm{24}\left({y}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{4}\left({x}+\mathrm{2}\right)\left({y}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{xy}−\mathrm{36}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$${step}\:\mathrm{3}:\:{find}\:{the}\:{major}\:{and}\:{minor}\:{axis} \\ $$$${express}\:{the}\:{eqn}.\:{in}\:{polar}\:{form}\:{with} \\ $$$${x}={r}\:\mathrm{cos}\:\theta,\:{y}={r}\:\mathrm{sin}\:\theta \\ $$$$\mathrm{5}{r}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\theta+\mathrm{8}{r}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\theta+\mathrm{4}{r}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\theta\mathrm{cos}\:\theta−\mathrm{36}=\mathrm{0} \\ $$$$\left[\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta+\mathrm{1}\right)+\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta\right)+\mathrm{2sin}\:\mathrm{2}\theta\right]{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{36}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{13}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{2}\theta+\mathrm{4sin}\:\mathrm{2}\theta\right){r}^{\mathrm{2}} =\mathrm{72} \\ $$$$\left[\mathrm{13}+\mathrm{5}\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\theta\right)\right]{r}^{\mathrm{2}} =\mathrm{72} \\ $$$$\left[\mathrm{13}+\mathrm{5}\left(−\mathrm{sin}\:\alpha\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta+\mathrm{cos}\:\alpha\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\theta\right)\right]{r}^{\mathrm{2}} =\mathrm{72} \\ $$$$\left[\mathrm{13}+\mathrm{5}\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\theta−\alpha\right)\right]{r}^{\mathrm{2}} =\mathrm{72} \\ $$$$\Rightarrow{r}=\frac{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{13}+\mathrm{5}\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\theta−\alpha\right)}} \\ $$$${r}_{{max}} ={major}\:{axis}={a}=\frac{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{13}−\mathrm{5}}}=\mathrm{3} \\ $$$${at}\:\mathrm{2}\theta−\alpha=−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:{or}\:\theta=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$$${r}_{{min}} ={minor}\:{axis}={b}=\frac{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{13}+\mathrm{5}}}=\mathrm{2} \\ $$$${at}\:\mathrm{2}\theta−\alpha=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:{or}\:\theta=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$$${we}\:{know}\:{in}\:{this}\:{way}\:{also}\:{that}\:{the} \\ $$$${ellipse}\:{is}\:{rotated}\:{by}\:{angle}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$
Commented by mr W last updated on 15/Jan/20