find-the-determinant-of-the-matrix-below-1-4-3-1-2-0-6-3-4-1-2-5-1-0-2-4-

Question Number 9285 by suci last updated on 28/Nov/16

$${find}\:{the}\:{determinant}\:{of}\:{the}\:{matrix}\:{below} \\ $$$$\begin{bmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{4}}&{−\mathrm{3}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{2}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{6}}&{\mathrm{3}}\\{\mathrm{4}}&{−\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{5}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{0}}&{−\mathrm{2}}&{\mathrm{4}}\end{bmatrix} \\ $$

Answered by mrW last updated on 28/Nov/16

$$\mid\mathrm{A}\mid=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{4}}&{−\mathrm{3}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{2}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{6}}&{\mathrm{3}}\\{\mathrm{4}}&{−\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{5}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{0}}&{−\mathrm{2}}&{\mathrm{4}}\end{vmatrix} \\ $$$$\mathrm{R4}−\mathrm{R1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{R3}−\mathrm{R2}×\mathrm{2}: \\ $$$$\mid\mathrm{A}\mid=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{4}}&{−\mathrm{3}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{2}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{6}}&{\mathrm{3}}\\{\mathrm{0}}&{−\mathrm{1}}&{−\mathrm{10}}&{−\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{−\mathrm{4}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{3}}\end{vmatrix} \\ $$$$\mathrm{R2}−\mathrm{R1}×\mathrm{2}: \\ $$$$\mid\mathrm{A}\mid=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{4}}&{−\mathrm{3}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{−\mathrm{8}}&{\mathrm{12}}&{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{−\mathrm{1}}&{−\mathrm{10}}&{−\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}&{−\mathrm{4}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{3}}\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{1}×\begin{vmatrix}{−\mathrm{8}}&{\mathrm{12}}&{\mathrm{1}}\\{−\mathrm{1}}&{−\mathrm{10}}&{−\mathrm{1}}\\{−\mathrm{4}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{3}}\end{vmatrix} \\ $$$$\mathrm{R2}+\mathrm{R1}: \\ $$$$=\mathrm{1}×\begin{vmatrix}{−\mathrm{8}}&{\mathrm{12}}&{\mathrm{1}}\\{−\mathrm{9}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{0}}\\{−\mathrm{4}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{3}}\end{vmatrix} \\ $$$$\mathrm{R3}−\mathrm{R1}×\mathrm{3}: \\ $$$$=\mathrm{1}×\begin{vmatrix}{−\mathrm{8}}&{\mathrm{12}}&{\mathrm{1}}\\{−\mathrm{9}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{20}}&{−\mathrm{35}}&{\mathrm{0}}\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{1}×\mathrm{1}×\begin{vmatrix}{−\mathrm{9}}&{\mathrm{2}}\\{\mathrm{20}}&{−\mathrm{35}}\end{vmatrix} \\ $$$$=\left(−\mathrm{9}\right)×\left(−\mathrm{35}\right)−\mathrm{2}×\mathrm{20}=\mathrm{275} \\ $$

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