Question Number 138989 by metamorfose last updated on 20/Apr/21
$${find}\:{the}\:{integers}\:{x}\:,\:{y}\:,\:{z}\:,\:{n}\:{that} \\ $$$${satisfy}\::\:\mathrm{2}^{{n}} ={x}!+{y}!+{z}! \\ $$
Answered by mindispower last updated on 21/Apr/21
$${let}\:{m}={min}\left({x},{y},{z}\right),{if}\:{m}\geqslant\mathrm{3}\Rightarrow \\ $$$${x}!+{y}!+{z}!\equiv\mathrm{0}\left[\mathrm{3}\right]\Leftrightarrow\mathrm{2}^{{n}} \equiv\mathrm{0}\left[\mathrm{3}\right]\:{impossib}\:{since} \\ $$$$\mathrm{2},\mathrm{3}\:{are}\:{coprime} \\ $$$$\Rightarrow{m}\in\left\{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}\right\}\:{by}\:{symetrie}\:{of}\:{x}!+{y}!+{z}! \\ $$$${let}\:{m}={x},{x}\leqslant{y}\leqslant{z} \\ $$$${x}=\mathrm{0},\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}={z}!+{y}!\geqslant\mathrm{2}\Rightarrow{n}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$${z}!+{y}!\equiv\mathrm{1}\left[\mathrm{2}\right]\Rightarrow{y}=\left\{\mathrm{0},\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{2}={z}!\Rightarrow\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)={z}!,{we}\:{see}\:{z}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$${since}\:\mathrm{2}\mid\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$${the}\:{power}\:{of}\:\mathrm{2}\:{in}\:{the}\:\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right){is}\:{one}\:{since} \\ $$$$\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\equiv\mathrm{1}\left[\mathrm{2}\right]\Rightarrow{z}<\mathrm{4}\Rightarrow{z}\in\left\{\mathrm{2},\mathrm{3}\right\} \\ $$$${z}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{2}=\mathrm{2}\Rightarrow{n}=\mathrm{2} \\ $$$${z}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{2}^{{n}} =\mathrm{8}\Rightarrow{n}=\mathrm{3} \\ $$$${case}\:\mathrm{2}\:{x}=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{2}={y}!+{z}!\Rightarrow\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)={y}!+{z}!,\mathrm{2}\leqslant{y}<\mathrm{4} \\ $$$${because}\:{power}\:{of}\:\mathrm{2}\:{in}\:\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${and}\:{y}\leqslant{z}\:{if}\:{y}\geqslant\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{4}\mid\left({y}!+{z}!\right)\:\Rightarrow{power}\:{of}\:\mathrm{2}\:{in}\: \\ $$$${y}!+{z}!\:{is}\:{at}\:{less}\:\mathrm{2}\:{impossibl} \\ $$$${if}\:{y}=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)=\boldsymbol{{z}}!\Rightarrow{no}\:{solution} \\ $$$${y}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)=\mathrm{6}+{z}! \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)={z}!\Rightarrow{z}=\left\{\mathrm{4},\mathrm{5}\right\} \\ $$$${z}=\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{24}=\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{8}\Rightarrow{n}=\mathrm{5} \\ $$$${z}=\mathrm{5}\Rightarrow\mathrm{128}=\mathrm{2}^{{n}} \Rightarrow{n}=\mathrm{7},{ander}\:{permutation}\: \\ $$$${of}\:{x},{y},{z} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by metamorfose last updated on 21/Apr/21
$${thnx}\:{sir} \\ $$