Question Number 141405 by iloveisrael last updated on 18/May/21
$$\:\:\:\:\:{Find}\:{the}\:{minimum}\:{value}\:{of}\:{k} \\ $$$$\:\:\:\:\:{such}\:{that}\:{for}\:{arbitrary}\:{a},{b}\:>\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:{we}\:{have}\:\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{a}}\:+\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{b}}\:\leqslant\:{k}\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{a}+{b}}\: \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 18/May/21
$$\:\mathrm{consider}\:\mathrm{the}\:\mathrm{function}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{x}} \\ $$$$\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{x}\right)=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{x}^{−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}} \:\&\:\mathrm{f}\:''\left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\mathrm{x}^{−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\:\mathrm{for}\:\mathrm{any}\:\mathrm{x}\:\in\:\left(\mathrm{0},\infty\right)\:\mathrm{thus}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{concave}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{interval}\:\left(\mathrm{0},\infty\right).\:\:\mathrm{By}\:\mathrm{Jensen}'\mathrm{s}\:\mathrm{inequality}\: \\ $$$$\:\mathrm{we}\:\mathrm{deduce}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)\:\leqslant\:\mathrm{f}\:\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{a}}\:+\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{b}}}{\mathrm{2}}\:\leqslant\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{a}}\:+\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{b}}\:\leqslant\:\frac{\mathrm{2}\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{a}+\mathrm{b}}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{2}}}\:=\:\frac{\mathrm{2}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{4}}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:{k}\:\mathrm{is}\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{4}}\:\divideontimes \\ $$