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find-the-sequence-u-n-wich-verify-u-n-u-n-1-cosn-

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Question Number 134630 by mathmax by abdo last updated on 06/Mar/21
find the sequence u_n wich verify u_n +u_(n+1) =cosn
$$\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \mathrm{wich}\:\mathrm{verify}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} +\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{cosn} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 07/Mar/21
u_n +u_(n+1) =cos(n) ⇒Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k (u_k +u_(k+1) ) =Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k cos(k) ⇒ u_0 +u_1 −(u_1 +u_2 )+....+(−1)^(n−2) (u_(n−2) +u_(n−1) )+(−1)^(n−1) (u_(n−1) +u_n ) =Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k cosk ⇒u_0 +(−1)^(n−1) u_n =Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k cosk ⇒ (−1)^(n−1) u_n =Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k [cosk−u_0 ⇒ u_n =(−1)^(n−1) Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k cos(k)−(−1)^(n−1) u_o ⇒ u_n =(−1)^n u_0 −(−1)^n Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k cosk and Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k cosk =Re(Σ_(k=0) ^(n−1) (−1)^k e^(ik) ) we have Σ_(k=0) ^(n−1) (−e^i )^k =((1−(−e^i )^n )/(1−(−e^i ))) =((1−(−1)^n e^(ni) )/(1+e^i )) =((1−(−1)^n {cosn+isinn})/(1+cos1 +isin1)) =(((1−(−1)^n (cosn+isinn))(1+cos1−isin1))/((1+cos(1))^2 +sin^2 (1))) rest to extract Re (of this quantity)....
$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} +\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{cos}\left(\mathrm{n}\right)\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{u}_{\mathrm{k}} +\mathrm{u}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \right)\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{k}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{0}} +\mathrm{u}_{\mathrm{1}} −\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} +\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)+….+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{u}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right) \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{cosk}\:\Rightarrow\mathrm{u}_{\mathrm{0}} +\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{cosk}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \left[\mathrm{cosk}−\mathrm{u}_{\mathrm{0}} \:\Rightarrow\right. \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{k}\right)−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{u}_{\mathrm{o}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{u}_{\mathrm{0}} −\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{cosk}\:\mathrm{and} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{cosk}\:=\mathrm{Re}\left(\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{ik}} \right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{e}^{\mathrm{i}} \right)^{\mathrm{k}} \:=\frac{\mathrm{1}−\left(−\mathrm{e}^{\mathrm{i}} \right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}−\left(−\mathrm{e}^{\mathrm{i}} \right)}\:=\frac{\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{ni}} }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left\{\mathrm{cosn}+\mathrm{isinn}\right\}}{\mathrm{1}+\mathrm{cos1}\:+\mathrm{isin1}} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{cosn}+\mathrm{isinn}\right)\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos1}−\mathrm{isin1}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{1}\right)\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{extract}\:\mathrm{Re}\:\left(\mathrm{of}\:\mathrm{this}\:\mathrm{quantity}\right)…. \\ $$

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