Question Number 141475 by bramlexs22 last updated on 19/May/21
$$\:{Find}\:{the}\:{smallest}\:{value}\:{of}\: \\ $$$$\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} }\:{among}\:{all}\:{values}\:{of} \\ $$$$\:{x}\:\&\:{y}\:{satisfying}\:\mathrm{3}{x}−{y}\:=\:\mathrm{20}\: \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 19/May/21
$${y}=\mathrm{3}{x}−\mathrm{20} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\sqrt{\mathrm{10}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{x}+\mathrm{40}\right)} \\ $$$${x}={t}+\mathrm{6} \\ $$$${f}\left({t}\right)=\sqrt{\mathrm{10}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\right)} \\ $$$$\mathrm{min}\:\left({f}\left({t}\right)\right)\:=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 19/May/21
$$\varphi\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}=\mathrm{3x}−\mathrm{20}\:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{3x}−\mathrm{20}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{9x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{120x}\:+\mathrm{400}}=\sqrt{\mathrm{10x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{120x}\:+\mathrm{400}} \\ $$$$\varphi^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{20x}−\mathrm{120}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{120x}}+\mathrm{400}}\:=\frac{\mathrm{10x}−\mathrm{60}}{\:\sqrt{\mathrm{10x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{120x}+\mathrm{400}}}\:=\frac{\mathrm{10}\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)}{\:\sqrt{….}} \\ $$$$\varphi^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{6}\:\:\mathrm{and}\:\varphi^{'} \left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}>\mathrm{6} \\ $$$$\left.\varphi^{'} \left(\mathrm{x}\right)<\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}<\mathrm{6}\:\Rightarrow\mathrm{inf}\:\varphi\left(\mathrm{x}\right)=\varphi\left(\mathrm{6}\right)=\sqrt{\mathrm{6}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{18}−\mathrm{20}\right.}\right)^{\mathrm{2}} =\sqrt{\mathrm{36}+\mathrm{4}} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{40}}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}} \\ $$