Question Number 137366 by liberty last updated on 02/Apr/21
$${Find}\:{the}\:{solution}\:{of}\:{equation} \\ $$$$\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{3}{x}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$${on}\:{interval}\:\left(\mathrm{0},\mathrm{2}\pi\right) \\ $$
Answered by benjo_mathlover last updated on 02/Apr/21
$$\left(\ast\right)\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{3}{x}\:=\:\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x} \\ $$$$ \:\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}+\mathrm{sin}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2sin}\:\mathrm{3}{x}\:\mathrm{sin}\:{x}\:=\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x} \\ $$$$ \left(\mathrm{2sin}\:\mathrm{2}{x}\:\mathrm{cos}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}=\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x} \\ $$$$\mathrm{4sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\right)+\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}=\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x} \\ $$$${let}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:=\:{a} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{2}+\mathrm{2}{a}\right)+\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−{a}={a}^{\mathrm{2}} \\ $$$$ \mathrm{2}+\mathrm{2}{a}−\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−{a}−{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$ −\mathrm{2}{a}^{\mathrm{3}} −{a}^{\mathrm{2}} +{a}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$ \mathrm{2}{a}^{\mathrm{3}} +{a}^{\mathrm{2}} −{a}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} \approx\:\mathrm{0}.\mathrm{2963} \\ $$$${x}_{\mathrm{2}} \approx\:\mathrm{2}.\mathrm{8453} \\ $$$${x}_{\mathrm{3}} \:\approx\:\mathrm{3}.\mathrm{4379} \\ $$$${x}_{\mathrm{4}} \:\approx\:\mathrm{5}.\mathrm{9869} \\ $$
Answered by liberty last updated on 02/Apr/21
$$\Leftrightarrow\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}}{\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{3}{x} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{6}{x}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6}{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{4}{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{2}{x}\left(\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${let}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:=\:{c} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}{c}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{c}\left(\mathrm{2}{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}{c}^{\mathrm{3}} \:+{c}^{\mathrm{2}} −{c}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\: \\ $$$$ \\ $$