Question Number 1784 by 112358 last updated on 25/Sep/15
$${Find}\:{the}\:{sum}\:{of}\:{the}\:{series}\: \\ $$$$\mathrm{1}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}^{\mathrm{3}} +…+\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \:. \\ $$
Answered by Rasheed Soomro last updated on 25/Sep/15
$${This}\:{is}\:{a}\:{compound}\:{series}. \\ $$$$\mathrm{1}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}^{\mathrm{3}} +…−\left(\mathrm{2}{n}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \: \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{1}^{\mathrm{3}} −\left\{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}^{\mathrm{3}} …+\left(\mathrm{2}{n}\right)^{\mathrm{3}} \:\right\}+\left\{\mathrm{3}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}^{\mathrm{3}} +…+\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{1}−\left\{\mathrm{2}\left[{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\right]^{\mathrm{2}} \right\}+\left\{\left(\mathrm{1}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}^{\mathrm{3}} +…+\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{1}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \right\} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{1}−\mathrm{2}\left[{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\right]^{\mathrm{2}} +\left\{{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}+\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \right\} \\ $$$$\:\:\:\:=−\mathrm{2}\left[{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\right]^{\mathrm{2}} +{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:={n}^{\mathrm{2}} \left\{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−\mathrm{2}\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)\right\}+\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:={n}^{\mathrm{2}} \left\{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{n}−\mathrm{2}\right\}+\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:=\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4}{n}+\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{4}{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{9}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{n}+\mathrm{1} \\ $$$${Verification}: \\ $$$${Let}\:\:\:{S}=\mathrm{1}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}^{\mathrm{3}} =\mathrm{81}\:\left({Directly}\right) \\ $$$${By}\:{formula}: \\ $$$$\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{5}^{\mathrm{3}} \Rightarrow{n}=\mathrm{2} \\ $$$${S}=\mathrm{4}\left(\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{9}\left(\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{4}\left(\mathrm{8}\right)+\mathrm{9}\left(\mathrm{4}\right)+\mathrm{6}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{32}+\mathrm{36}+\mathrm{12}+\mathrm{1}=\mathrm{81}\:\left({Same}\right) \\ $$$${Formulae}\:{used}\:{in}\:{above} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}^{\mathrm{3}} +…+\left(\mathrm{2}{n}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{2}\left[{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\right]^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}^{\mathrm{3}} +…+\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} ={n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$