Question Number 66796 by mathmax by abdo last updated on 19/Aug/19
$${find}\:{the}\:{value}\:{of}\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 20/Aug/19
$${let}\:{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{{x}^{\mathrm{2}} }{dx}\:\:{by}\:{parts}\:\:{u}^{'} =\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:{and}\:{v}={ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$${I}\:=\left[−\frac{\mathrm{1}}{{x}}{ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\frac{\mathrm{2}{x}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$=−{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }{dx}\:=−{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{2}\left[{arctanx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:=−{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{2}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}−{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:{rest}\:{to}\:{prove}\:{that}\:{lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} \:\:\frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{{x}}\:=\mathrm{0} \\ $$$$={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} \:\:{x}\:\frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{{x}^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{0}\:\:{because}\:{lim}_{{u}\rightarrow\mathrm{0}} \:\:\frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{u}\right)}{{u}}\:=\mathrm{1} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 20/Aug/19
$${remark}\:\:{we}\:{have}\:{ln}^{'} \left(\mathrm{1}+{u}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{u}}\:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {u}^{{n}} \:{if}\:\mid{u}\mid<\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${ln}\left(\mathrm{1}+{u}\right)\:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}{u}^{{n}+\mathrm{1}} \:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} {u}^{{n}} }{{n}}\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}{u}^{{n}} \\ $$$$\Rightarrow{ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:{x}^{\mathrm{2}{n}} \:\Rightarrow\frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{{x}^{\mathrm{2}} }\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}{x}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{{x}^{\mathrm{2}} }{dx}\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}{x}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}−{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}\:={ln}\left(\mathrm{2}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$