Question Number 141129 by bobhans last updated on 16/May/21
$${For}\:{what}\:{values}\:{of}\:\lambda\:{are}\:{the} \\ $$$${vectors}\:\lambda\hat {{i}}\:+\:\mathrm{2}\hat {{j}}\:+\:\hat {{k}}\:,\:\mathrm{3}\hat {{i}}\:+\mathrm{4}\hat {{j}}\:+\lambda\hat {{k}}\: \\ $$$$,\:\hat {{j}}\:+\:\hat {{k}}\:\:{coplanar}\: \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 16/May/21
$$\:\begin{pmatrix}{\mathrm{3}}\\{\mathrm{4}}\\{\lambda}\end{pmatrix}\:=\:\mathrm{m}\:\begin{pmatrix}{\lambda}\\{\mathrm{2}}\\{\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:+\:\mathrm{n}\begin{pmatrix}{\mathrm{0}}\\{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}\end{pmatrix} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{m}\lambda\:=\:\mathrm{3}\:;\:\lambda=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{m}} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{2m}+\mathrm{n}=\mathrm{4}}\\{\mathrm{m}+\mathrm{n}=\lambda}\end{cases}\:\Rightarrow\mathrm{m}=\mathrm{4}−\lambda \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{m}=\mathrm{4}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{m}}\:;\:\mathrm{m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4m}+\mathrm{3}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{m}−\mathrm{3}\right)=\mathrm{0}\:\begin{cases}{\mathrm{m}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\lambda=\mathrm{3}}\\{\mathrm{m}=\mathrm{3}\Rightarrow\lambda=\:\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$\:\lambda\:=\:\left\{\:\mathrm{1},\:\mathrm{3}\:\right\}\:\divideontimes\:\: \\ $$