Given-10-white-balls-and-ten-black-balls-numbered-1-2-10-How-many-ways-can-we-choose-6-balls-such-that-i-no-two-chosen-balls-have-the-same-number-ii-two-pairs-of-chosen-balls-have-the-same-n

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Question Number 133424 by liberty last updated on 22/Feb/21

$$\mathrm{Given}10\mathrm{white}\mathrm{balls}\mathrm{and}\mathrm{ten}\mathrm{black}\mathrm{balls}$$$$\mathrm{numbered}1,2,\dots ,10.\mathrm{How}\mathrm{many}$$$$\mathrm{ways}\mathrm{can}\mathrm{we}\mathrm{choose}6\mathrm{balls}\mathrm{such}\mathrm{that}$$$$\left(\mathrm{i}\right)\mathrm{no}\mathrm{two}\mathrm{chosen}\mathrm{balls}\mathrm{have}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{number}$$$$\left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{two}\mathrm{pairs}\mathrm{of}\mathrm{chosen}\mathrm{balls}\mathrm{have}$$$$\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{number}?$$

Answered by EDWIN88 last updated on 22/Feb/21

$$\left(\mathrm{i}\right)\mathrm{six}\mathrm{number}\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{set}\{1,2,\dots ,10\}\mathrm{can}\mathrm{be}$$$$\mathrm{chosen}\left(\begin{array}{c}10\\ 6\end{array}\right)\mathrm{ways}.\mathrm{Each}\mathrm{of}\mathrm{these}\mathrm{numbers}$$$$\mathrm{can}\mathrm{appear}\mathrm{in}\mathrm{two}\mathrm{ways}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{chosen}\mathrm{balls}.$$$$\mathrm{There}\mathrm{are}\left(\begin{array}{c}10\\ 6\end{array}\right).2^6=13440\mathrm{ways}\mathrm{of}\mathrm{choosing}$$$$6\mathrm{balls}\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{no}\mathrm{two}\mathrm{of}\mathrm{them}\mathrm{are}\mathrm{denoted}$$$$\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{number}$$$$\left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{two}\mathrm{pairs}\mathrm{of}\mathrm{balls}\mathrm{having}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{number}\mathrm{can}$$$$\mathrm{be}\mathrm{chosen}\left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)\mathrm{ways}.\mathrm{From}\mathrm{the}\mathrm{remaining}$$$$16\mathrm{balls}\mathrm{one}\mathrm{can}\mathrm{choose}\mathrm{two}\mathrm{balls}\mathrm{numbered}$$$$\mathrm{differently}\mathrm{in}\left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right).2^2\mathrm{ways}.\mathrm{The}\mathrm{answer}\mathrm{in}$$$$\mathrm{this}\mathrm{case}\mathrm{is}\left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right).2^2=5040$$$$$$

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