Question Number 139592 by bemath last updated on 29/Apr/21
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{2}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}\:+\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{If}\:\left(\mathrm{g}\circ\mathrm{f}\right)\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{2x}+\mathrm{1}\:\mathrm{then}\:\mathrm{g}^{−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)=? \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 29/Apr/21
$$\Rightarrow\left(\mathrm{g}\circ\mathrm{f}\right)\left(\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{2x}+\mathrm{1}\:;\:\mathrm{g}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}=−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{1}}\\{\mathrm{g}^{−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}\right)=\sqrt{\mathrm{2}+\mathrm{1}+\mathrm{1}}\:+\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{3}}\end{cases} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 29/Apr/21
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{gof}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2x}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\mathrm{g}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{g}^{−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}\right)\:=\sqrt{\mathrm{2}+\mathrm{1}+\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{1}}=\mathrm{2}+\mathrm{1}=\mathrm{3} \\ $$