Question Number 138295 by greg_ed last updated on 12/Apr/21
$$\boldsymbol{\mathrm{hi}}\:! \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{Simplify}}\::\:{for}\:{n}\:\in\:\mathbb{N}^{\ast} ,\:\:{S}_{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{3}{k}+\mathrm{8}}{{k}\left({k}+\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{{k}} }\:. \\ $$
Answered by mr W last updated on 12/Apr/21
$$\frac{\mathrm{3}{k}+\mathrm{8}}{{k}\left({k}+\mathrm{2}\right)}=\frac{{A}}{{k}}+\frac{{B}}{{k}+\mathrm{2}}=\frac{\left({A}+{B}\right){k}+\mathrm{2}{A}}{{k}\left({k}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}{A}=\mathrm{8}\Rightarrow{A}=\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow{A}+{B}=\mathrm{3}\:\Rightarrow{B}=−\mathrm{1} \\ $$$${S}_{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{3}{k}+\mathrm{8}}{{k}\left({k}+\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{{k}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{4}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{2}}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{k}} }\: \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:\mathrm{4}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{1}}{{k}\mathrm{2}^{{k}} }−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{{k}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:\mathrm{4}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{1}}{{k}\mathrm{2}^{{k}} }−\mathrm{4}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{{k}+\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:\mathrm{4}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{1}}{{k}\mathrm{2}^{{k}} }−\mathrm{4}\underset{{k}=\mathrm{3}} {\overset{{n}+\mathrm{2}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{1}}{{k}\mathrm{2}^{{k}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:\cancel{\mathrm{4}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{1}}{{k}\mathrm{2}^{{k}} }}−\cancel{\mathrm{4}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\:\frac{\mathrm{1}}{{k}\mathrm{2}^{{k}} }}+\mathrm{4}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}×\mathrm{2}^{\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}×\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{3}{n}+\mathrm{5}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{{n}} } \\ $$
Commented by henderson last updated on 12/Apr/21
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{u},\:\mathrm{sir}\:\mathrm{mr}\:\mathrm{W}\:! \\ $$