Question Number 135974 by liberty last updated on 17/Mar/21
$$ \\ $$How do you solve for 2cos^3(x) + sinx – 3sin^2 (x) cos(x) =0?
Commented by mr W last updated on 17/Mar/21
$$\mathrm{2}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \:{x}+\mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{3}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \:{x}+\mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\right)\:\mathrm{cos}\:{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{5}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \:{x}+\mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\:{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{cos}\:{x}\:\left(\mathrm{5}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}−\mathrm{3}\right)+\mathrm{sin}\:{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{3}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{tan}\:{x} \\ $$$$\mathrm{3}−\frac{\mathrm{5}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\mathrm{t} \\ $$$${t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{t}^{\mathrm{2}} +{t}+\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({t}−\mathrm{2}\right)\left({t}^{\mathrm{2}} −{t}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{t}=\mathrm{tan}\:{x}=\mathrm{2}\:\Rightarrow{x}={n}\pi+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{t}=\mathrm{tan}\:{x}=\frac{\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow{x}={n}\pi+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by liberty last updated on 17/Mar/21
$${replacing}\:\mathrm{sin}\:{x}=\mathrm{sin}\:^{\mathrm{3}} {x}+\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x} \\ $$$$\left(\bullet\right)\:\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{3}} {x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{3}} {x}+\mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{3sin}\:^{\mathrm{2}} {x}\:\mathrm{cos}\:{x}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$${divided}\:{by}\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{3}} {x} \\ $$$$\mathrm{2}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{3}} {x}+\mathrm{tan}\:{x}−\mathrm{3tan}\:^{\mathrm{2}} {x}\:=\:\mathrm{0}\: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:^{\mathrm{3}} {x}−\mathrm{3tan}\:^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{tan}\:{x}+\mathrm{2}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$${let}\:\mathrm{tan}\:{x}\:=\:{u} \\ $$$$\Rightarrow{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{u}^{\mathrm{2}} +{u}+\mathrm{2}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\left({u}−\mathrm{2}\right)\left({u}^{\mathrm{2}} −{u}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\rightarrow\begin{cases}{{u}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{tan}\:{x}=\mathrm{2}}\\{{u}\:=\:\frac{\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{tan}\:{x}=\frac{\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 17/Mar/21
$$\mathrm{let}\:{t}=\mathrm{tan}\:\frac{{x}}{\mathrm{2}} \\ $$$$−\frac{\mathrm{2}\left({t}^{\mathrm{2}} +{t}−\mathrm{1}\right)\left({t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{6}{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{g}+\mathrm{1}\right)}{\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }=\mathrm{0} \\ $$$$\left({t}^{\mathrm{2}} +{t}−\mathrm{1}\right)\left({t}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}\right){t}−\mathrm{1}\right)\left({t}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{5}}\right){t}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{solve}\:\mathrm{this}\:\mathrm{for}\:{t}\:\mathrm{and}\:\mathrm{then}\:{x}=\mathrm{2}\pi{n}+\mathrm{2arctan}\:{t} \\ $$