Question Number 12046 by 7991 last updated on 10/Apr/17
$${how}\:{much}\:{matrices}\:{of}\:{integers}\:{number} \\ $$$${A}=\begin{bmatrix}{{a}}&{{b}}\\{{c}}&{{d}}\end{bmatrix}{if}\:{A}^{\mathrm{2}} +{A}=\mathrm{2}{I},\:{c}=\mathrm{0},\:{det}\left({A}\right)=\mathrm{4} \\ $$
Answered by sma3l2996 last updated on 10/Apr/17
$${A}^{\mathrm{2}} =\begin{bmatrix}{{a}}&{{b}}\\{\mathrm{0}}&{{d}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{a}}&{{b}}\\{\mathrm{0}}&{{d}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{a}^{\mathrm{2}} }&{{ab}+{db}}\\{\mathrm{0}}&{{d}^{\mathrm{2}} }\end{bmatrix} \\ $$$${A}^{\mathrm{2}} +{A}=\begin{bmatrix}{{a}^{\mathrm{2}} +{a}}&{{ab}+{db}+{d}}\\{\mathrm{0}}&{{d}^{\mathrm{2}} +{d}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\mathrm{2}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{2}}\end{bmatrix} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} +{a}=\mathrm{2}\:;\:{d}^{\mathrm{2}} +{d}=\mathrm{2}\:;\:{ab}+{db}+{d}=\mathrm{0} \\ $$$${det}\left({A}\right)={ad}=\mathrm{4} \\ $$$$\left({i}\right):{a}^{\mathrm{2}} +{a}−\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\:{a}=\mathrm{1}\:{or}\:{a}=−\mathrm{2} \\ $$$$\left({ii}\right):{ad}=\mathrm{4}\Leftrightarrow{d}=\mathrm{4}\:{or}\:{d}=−\mathrm{2} \\ $$$$\left({iii}\right):{d}^{\mathrm{2}} +{d}−\mathrm{2}=\mathrm{0}\Leftrightarrow{d}=\mathrm{1}\:{or}\:{d}=−\mathrm{2} \\ $$$${so}\:{d}={a}=−\mathrm{2} \\ $$$${ab}+{db}+{d}=\mathrm{0}\Leftrightarrow\:−\mathrm{4}{b}−\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\:{b}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${so}\:{A}=\begin{bmatrix}{−\mathrm{2}}&{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{0}}&{−\mathrm{2}}\end{bmatrix} \\ $$