Question Number 12045 by 7991 last updated on 10/Apr/17
$${how}\:{much}\:{matrices}\:{of}\:{integers}\:{number} \\ $$$${A}=\begin{bmatrix}{{a}}&{{b}}\\{{c}}&{{d}}\end{bmatrix}{if}\:{A}^{\mathrm{2}} ={I}\:{and}\:{b}={c} \\ $$
Answered by sma3l2996 last updated on 10/Apr/17
$${A}^{\mathrm{2}} =\begin{bmatrix}{{a}}&{{b}}\\{{c}}&{{d}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{a}}&{{b}}\\{{c}}&{{d}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{a}^{\mathrm{2}} +{bc}}&{{ab}+{db}}\\{{ac}+{dc}}&{{bc}+{d}^{\mathrm{2}} }\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{1}}\end{bmatrix} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} +{bc}=\mathrm{1}\:;\:{b}\left({a}+{d}\right)=\mathrm{0}\:;\:{c}\left({a}+{d}\right)=\mathrm{0}\:;\:{bc}+{d}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$${b}\left({a}+{d}\right)=\mathrm{0}\Leftrightarrow{b}=\mathrm{0}\:{or}\:{a}=−{d} \\ $$$${if}\:{b}=\mathrm{0}\:{so}\:{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}\:\Rightarrow{a}=\mathrm{1}\:{or}\:{a}=−\mathrm{1}\:{and}\:{d}=\mathrm{1}\:{or}\:{d}=−\mathrm{1} \\ $$$${if}\:{b}\neq\mathrm{0}\:{so}\:{a}=−{d} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}\:\Leftrightarrow\:{b}=\sqrt{\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} }\:{or}\:{b}=−\sqrt{\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${A}=\begin{bmatrix}{−\mathrm{1}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{1}}\end{bmatrix}\:{or}\:{A}=\begin{bmatrix}{\mathrm{1}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}}&{−\mathrm{1}}\end{bmatrix}\:{or}\:{A}=\begin{bmatrix}{−\mathrm{1}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}}&{−\mathrm{1}}\end{bmatrix}\:{or}\:{A}={I} \\ $$$${or}\:{A}=\begin{bmatrix}{{a}}&{\sqrt{\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} }}\\{\sqrt{\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} }}&{−{a}}\end{bmatrix}\:{or}\:{A}=\begin{bmatrix}{{a}}&{−\sqrt{\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} }}\\{−\sqrt{\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} }}&{−{a}}\end{bmatrix} \\ $$