Question Number 3900 by Filup last updated on 24/Dec/15
$$\mathrm{I}\:\mathrm{asked}\:\mathrm{this}\:\mathrm{question}\:\mathrm{a}\:\mathrm{while}\:\mathrm{ago}, \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{I}\:\mathrm{forgot}\:\mathrm{how}\:\mathrm{to}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{it}: \\ $$$$ \\ $$$${S}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:{n}} \lfloor{x}\rfloor{dx} \\ $$
Answered by Yozzii last updated on 24/Dec/15
$$\mathrm{0}\leqslant{x}<\mathrm{1}\Rightarrow\lfloor{x}\rfloor=\mathrm{0}\Rightarrow{A}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0}×\left(\mathrm{1}−\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{1}\leqslant{x}<\mathrm{2}\Rightarrow\lfloor{x}\rfloor=\mathrm{1}\Rightarrow{A}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1}\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2}\leqslant{x}<\mathrm{3}\Rightarrow\lfloor{x}\rfloor=\mathrm{2}\Rightarrow{A}_{\mathrm{3}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{3}−\mathrm{2}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{3}\leqslant{x}<\mathrm{4}\Rightarrow\lfloor{x}\rfloor=\mathrm{3}\Rightarrow{A}_{\mathrm{4}} =\mathrm{3}\left(\mathrm{4}−\mathrm{3}\right)=\mathrm{3} \\ $$$$\vdots \\ $$$${n}−\mathrm{2}\leqslant{x}<{n}−\mathrm{1}\Rightarrow\lfloor{x}\rfloor={n}−\mathrm{2}\Rightarrow{A}_{{n}−\mathrm{1}} ={n}−\mathrm{2} \\ $$$${n}−\mathrm{1}\leqslant{x}<{n}\Rightarrow\lfloor{x}\rfloor={n}−\mathrm{1}\Rightarrow{A}_{{n}} ={n}−\mathrm{1} \\ $$$${S}=\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} \lfloor{x}\rfloor{dx} \\ $$$${By}\:{the}\:{geometrical}\:{interpretation}\:{of} \\ $$$${the}\:{integral}, \\ $$$${S}=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{A}_{{i}} =\mathrm{0}+\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+…+{n}−\mathrm{1}=\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}. \\ $$$$ \\ $$$${Alternatively},\:{for}\:{i}\in\mathbb{N}, \\ $$$${S}=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left\{\int_{{i}−\mathrm{1}} ^{{i}} \lfloor{x}\rfloor{dx}\right\} \\ $$$${S}=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left\{\int_{{i}−\mathrm{1}} ^{{i}} \left({i}−\mathrm{1}\right){dx}\right\}\:\:\:\:\:\:\left({i}−\mathrm{1}\leqslant{x}<{i}\Rightarrow\lfloor{x}\rfloor={i}−\mathrm{1}\right) \\ $$$${S}=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({i}−\mathrm{1}\right)\left({x}\mid_{{i}−\mathrm{1}} ^{{i}} \right) \\ $$$${S}=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({i}−\mathrm{1}\right)\left({i}−{i}+\mathrm{1}\right) \\ $$$${S}=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({i}−\mathrm{1}\right)=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}−{n}=\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$