Question Number 76207 by mr W last updated on 25/Dec/19
$${if}\:{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1}\:{and}\:{a}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{3}{a}_{{n}} +{n}^{\mathrm{2}} \\ $$$${find}\:{a}_{{n}} =? \\ $$
Answered by mind is power last updated on 25/Dec/19
$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{3a}_{\mathrm{n}} +\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\mathrm{f3}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{c}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{c}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{3c}_{\mathrm{n}} +\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{c}_{\mathrm{n}} =\mathrm{an}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bn}+\mathrm{t} \\ $$$$\mathrm{a}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{t}=\mathrm{3an}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3bn}+\mathrm{3t} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{3a}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2a}+\mathrm{b}=\mathrm{3b} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{2t} \\ $$$$\mathrm{a}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{b}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{t}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\mathrm{f3}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{f}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{f}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{5}.\mathrm{3}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$
Answered by john santuy last updated on 25/Dec/19
$${a}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{3}.\mathrm{1}+\mathrm{1}=\mathrm{4} \\ $$$${a}_{\mathrm{3}} =\mathrm{3}×\mathrm{4}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}} =\mathrm{16} \\ $$$${a}_{\mathrm{4}} =\mathrm{3}×\mathrm{16}+\mathrm{3}^{\mathrm{2}} =\mathrm{57} \\ $$$${etc}…. \\ $$
Commented by mr W last updated on 25/Dec/19
$${i}\:{got}\: \\ $$$${a}_{{n}} =\frac{\mathrm{5}×\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} −{n}^{\mathrm{2}} −{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by john santuy last updated on 25/Dec/19
$${how}\:{sir}? \\ $$
Answered by mr W last updated on 25/Dec/19
$${my}\:{attempt}: \\ $$$${a}_{{n}+\mathrm{2}} =\mathrm{3}{a}_{{n}+\mathrm{1}} +\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${a}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{3}{a}_{{n}} +{n}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{a}_{{n}+\mathrm{2}} −{a}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{3}\left({a}_{{n}+\mathrm{1}} −{a}_{{n}} \right)+\mathrm{2}{n}+\mathrm{1} \\ $$$${let}\:\boldsymbol{{b}}_{\boldsymbol{{n}}+\mathrm{2}} =\boldsymbol{{a}}_{\boldsymbol{{n}}+\mathrm{2}} −\boldsymbol{{a}}_{\boldsymbol{{n}}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow{b}_{{n}+\mathrm{2}} =\mathrm{3}{b}_{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{2}{n}+\mathrm{1} \\ $$$${assume}\:\boldsymbol{{b}}_{\boldsymbol{{n}}} =\boldsymbol{{c}}_{\boldsymbol{{n}}} +\boldsymbol{{pn}}+\boldsymbol{{q}}\:{with}\:{p},\:{q}\:{as}\:{constants} \\ $$$${c}_{{n}+\mathrm{2}} +{p}\left({n}+\mathrm{2}\right)+{q}=\mathrm{3}\left[{c}_{{n}+\mathrm{1}} +{p}\left({n}+\mathrm{1}\right)+{q}\right]+\mathrm{2}{n}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{c}_{{n}+\mathrm{2}} =\mathrm{3}{c}_{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{2}\left({p}+\mathrm{1}\right){n}+\left({p}+\mathrm{2}{q}+\mathrm{1}\right) \\ $$$${now}\:{we}\:{select}\:{p}\:{and}\:{q}\:{such}\:{that}\:{the} \\ $$$${colored}\:{terms}\:{become}\:{zero}: \\ $$$${p}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{p}=−\mathrm{1} \\ $$$${p}+\mathrm{2}{q}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow−\mathrm{1}+\mathrm{2}{q}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{q}=\mathrm{0} \\ $$$${i}.{e}.\:\boldsymbol{{b}}_{\boldsymbol{{n}}} =\boldsymbol{{c}}_{\boldsymbol{{n}}} −\boldsymbol{{n}}\:{or}\:\boldsymbol{{c}}_{\boldsymbol{{n}}} =\boldsymbol{{b}}_{\boldsymbol{{n}}} +\boldsymbol{{n}} \\ $$$${from}\:{c}_{{n}+\mathrm{2}} =\mathrm{3}{c}_{{n}+\mathrm{1}} \:{we}\:{see}\:{c}_{{n}} \:{is}\:{a}\:{G}.{P}. \\ $$$${with}\:{common}\:{ratio}\:\mathrm{3}. \\ $$$$\Rightarrow{c}_{{n}} =\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{2}} {c}_{\mathrm{2}} \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1} \\ $$$${a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{3}×\mathrm{1}+\mathrm{1}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4} \\ $$$${b}_{\mathrm{2}} ={a}_{\mathrm{2}} −{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{4}−\mathrm{1}=\mathrm{3} \\ $$$${c}_{\mathrm{2}} ={b}_{\mathrm{2}} +\mathrm{2}=\mathrm{3}+\mathrm{2}=\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\boldsymbol{{c}}_{\boldsymbol{{n}}} =\mathrm{5}×\mathrm{3}^{\boldsymbol{{n}}−\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\boldsymbol{{b}}_{\boldsymbol{{n}}} =\mathrm{5}×\mathrm{3}^{\boldsymbol{{n}}−\mathrm{2}} −\boldsymbol{{n}} \\ $$$$\Rightarrow\boldsymbol{{b}}_{{k}+\mathrm{1}} =\mathrm{5}×\mathrm{3}^{{k}−\mathrm{1}} −{k}−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\boldsymbol{{a}}_{{k}+\mathrm{1}} −\boldsymbol{{a}}_{{k}} =\mathrm{5}×\mathrm{3}^{{k}−\mathrm{1}} −{k}−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\boldsymbol{{a}}_{{k}+\mathrm{1}} −\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\boldsymbol{{a}}_{{k}} =\mathrm{5}×\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{3}^{{k}−\mathrm{1}} −\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}−{n} \\ $$$$\Rightarrow\boldsymbol{{a}}_{{n}+\mathrm{1}} −\boldsymbol{{a}}_{\mathrm{1}} =\mathrm{5}×\frac{\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{1}}{\mathrm{3}−\mathrm{1}}−\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}−{n} \\ $$$$\Rightarrow\boldsymbol{{a}}_{{n}+\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{5}\left(\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{1}\right)−{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$${or} \\ $$$$\Rightarrow\boldsymbol{{a}}_{{n}} =\frac{\mathrm{5}\left(\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)−\left({n}−\mathrm{1}\right){n}−\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\boldsymbol{{a}}_{{n}} =\frac{\mathrm{5}×\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} −{n}^{\mathrm{2}} −{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by john santuy last updated on 25/Dec/19
$${wawww}\:\:\:{great}\:{sir} \\ $$
Answered by vishalbhardwaj last updated on 25/Dec/19
$${a}_{{n}} \:=\:{a}_{{n}+\mathrm{1}} −{a}_{{n}} \\ $$$$=\:\mathrm{3}{a}_{{n}} +{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{a}_{{n}−\mathrm{1}} −\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\:\mathrm{3}\left[{a}_{{n}} −{a}_{{n}−\mathrm{1}} \right]+{n}^{\mathrm{2}} −{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\:\:\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$=\mathrm{3}×{common}\:{difference}+\mathrm{2}{n}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{by}\:\mathrm{the}\:\mathrm{given}\:{a}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{3}{a}_{{n}} +{n}^{\mathrm{2}} \\ $$$${a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{3}{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\:\:\mathrm{and}\:{a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{3}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{common}\:\mathrm{difference}\:=\:{a}_{\mathrm{2}} −{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{by}\:\mathrm{equation}\:\left(\mathrm{i}\right),\:{a}_{{n}} =\:\mathrm{3}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{2}{n}−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:{a}_{{n}} =\:\mathrm{2}{n}+\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{when}\:\mathrm{series}\:\mathrm{an}\:\mathrm{A}.\mathrm{P}. \\ $$
Commented by MJS last updated on 25/Dec/19
$$\mathrm{but}\:\mathrm{obviously}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{an}\:\mathrm{A}.\mathrm{P}. \\ $$