Question Number 77799 by mr W last updated on 10/Jan/20
$${if}\:{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{3}\:{and} \\ $$$${a}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{3}{a}_{{n}} +\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{n}+\mathrm{2} \\ $$$${find}\:{a}_{{n}} \:{in}\:{terms}\:{of}\:{n}. \\ $$
Answered by mr W last updated on 12/Jan/20
$${let}\:{A}_{{n}} =\mathrm{3}^{{n}} {a}+{bn}^{\mathrm{2}} +{cn}+{d} \\ $$$${A}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{3}^{{n}+\mathrm{1}} {a}+{b}\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +{c}\left({n}+\mathrm{1}\right)+{d} \\ $$$$=\mathrm{3}^{{n}+\mathrm{1}} {a}+\mathrm{3}{bn}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{cn}+\mathrm{3}{d}+\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{n}+\mathrm{2} \\ $$$${b}\left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)+{c}\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}{d}+\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{n}+\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}\left({b}+\mathrm{3}\right){n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({b}−{c}+\mathrm{6}\right){n}−{b}−{c}+\mathrm{2}{d}+\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$${b}+\mathrm{3}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{b}=−\mathrm{3} \\ $$$${b}−{c}+\mathrm{6}=\mathrm{0}\:\Rightarrow−\mathrm{3}−{c}+\mathrm{6}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{c}=\mathrm{3} \\ $$$$−{b}−{c}+\mathrm{2}{d}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{3}−\mathrm{3}+\mathrm{2}{d}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{d}=−\mathrm{1} \\ $$$${A}_{{n}} =\mathrm{3}^{{n}} {a}−\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{n}−\mathrm{1} \\ $$$${A}_{\mathrm{1}} =\mathrm{3}{a}−\mathrm{3}+\mathrm{3}−\mathrm{1}=\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow{a}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow{A}_{{n}} =\mathrm{4}×\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{n}−\mathrm{1} \\ $$$${check}: \\ $$$${A}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{4}×\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{3}\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left({n}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{1} \\ $$$${A}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{4}×\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{n}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{3}{A}_{{n}} +\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{n}+\mathrm{2}=\mathrm{4}×\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{9}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}{n}−\mathrm{3}+\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{n}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{3}{A}_{{n}} +\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{n}+\mathrm{2}=\mathrm{4}×\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{n}−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{A}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{3}{A}_{{n}} +\mathrm{6}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{n}+\mathrm{2}\:\Rightarrow{ok} \\ $$