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If-A-B-C-90-show-that-tanA-tanB-tanB-tanC-tanC-tanA-1-




Question Number 8257 by lepan last updated on 04/Oct/16
If A+B+C=90° ,show that   tanA tanB+tanB tanC+tanC tanA=1.
$${If}\:{A}+{B}+{C}=\mathrm{90}°\:,{show}\:{that}\: \\ $$$${tanA}\:{tanB}+{tanB}\:{tanC}+{tanC}\:{tanA}=\mathrm{1}. \\ $$
Answered by sandy_suhendra last updated on 04/Oct/16
=tanA tanB + tanC (tanA+tanB)  =tanA tanB + tanC tan(A+B)[1−tanA tanB]  =tanA tanB + tanC cotC [1−tanA tanB]  =tanA tanB + 1 − tanA tanB  =1  using :  tan(A+B)=((tanA + tanB)/(1−tanA tanB))  ⇒ tanA + tanB=tan(A+B)[1−tanA tanB]  tan (A+B)=tan (90° − C)=cotC
$$=\mathrm{tanA}\:\mathrm{tanB}\:+\:\mathrm{tanC}\:\left(\mathrm{tanA}+\mathrm{tanB}\right) \\ $$$$=\mathrm{tanA}\:\mathrm{tanB}\:+\:\mathrm{tanC}\:\mathrm{tan}\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)\left[\mathrm{1}−\mathrm{tanA}\:\mathrm{tanB}\right] \\ $$$$=\mathrm{tanA}\:\mathrm{tanB}\:+\:\mathrm{tanC}\:\mathrm{cotC}\:\left[\mathrm{1}−\mathrm{tanA}\:\mathrm{tanB}\right] \\ $$$$=\mathrm{tanA}\:\mathrm{tanB}\:+\:\mathrm{1}\:−\:\mathrm{tanA}\:\mathrm{tanB} \\ $$$$=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{using}\:: \\ $$$$\mathrm{tan}\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)=\frac{\mathrm{tanA}\:+\:\mathrm{tanB}}{\mathrm{1}−\mathrm{tanA}\:\mathrm{tanB}}\:\:\Rightarrow\:\mathrm{tanA}\:+\:\mathrm{tanB}=\mathrm{tan}\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)\left[\mathrm{1}−\mathrm{tanA}\:\mathrm{tanB}\right] \\ $$$$\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)=\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{90}°\:−\:\mathrm{C}\right)=\mathrm{cotC} \\ $$

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