Question Number 132079 by liberty last updated on 11/Feb/21
$$\mathrm{If}\:\mathrm{L}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\pi/\mathrm{4}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{tan}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{x}−\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}{\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)} \\ $$$$\mathrm{then}\:\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{4}}\:=? \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 11/Feb/21
$$\:\mathrm{L}=\underset{{x}\rightarrow\pi/\mathrm{4}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{tan}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{tan}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)} \\ $$$$\mathrm{L}=\:\mathrm{1}×\mathrm{2}×\underset{{x}\rightarrow\pi/\mathrm{4}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}\right).\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)}\right) \\ $$$$\mathrm{L}=−\mathrm{1}×\mathrm{4}×\underset{{x}\rightarrow\pi/\mathrm{4}} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}{\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)} \\ $$$$\mathrm{L}=−\mathrm{4}\:×\underset{{x}\rightarrow\pi/\mathrm{4}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)}{\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)}\:=\:−\mathrm{4}\: \\ $$$$\:\mathrm{then}\:\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{4}}\:=\:−\mathrm{1} \\ $$