Menu Close

If-lim-x-0-cos-x-a-sin-bx-1-x-e-2-a-b-

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 140471 by EDWIN88 last updated on 08/May/21
If lim_(x→0) (cos x + a sin bx)^(1/x) = e^2 { ((a=?)),((b=?)) :}
$$\mathrm{If}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:+\:\mathrm{a}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{bx}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:=\:\mathrm{e}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{a}=?}\\{\mathrm{b}=?}\end{cases} \\ $$
Answered by benjo_mathlover last updated on 08/May/21
lim_(x→0) (cos x+ a sin bx)^(1/x) = e^(lim_(x→0) (cos x+a sin bx−1).(1/x) ) = e^(lim_(x→0) (((cos x−1+a sin bx)/x))) = e^(lim_(x→0) (((−sin x+ ab cos x)/1))) = e^(ab) = e^2 ⇒ ab = 2 → { ((a = k)),((b = (2/k))) :}
$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\:\mathrm{a}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{bx}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:= \\ $$$$\mathrm{e}^{\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{a}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{bx}−\mathrm{1}\right).\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:} = \\ $$$$\mathrm{e}^{\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{a}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{bx}}{\mathrm{x}}\right)} = \\ $$$$\mathrm{e}^{\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left(\frac{−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\:\mathrm{ab}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{1}}\right)} =\:\mathrm{e}^{\mathrm{ab}} \:=\:\mathrm{e}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{ab}\:=\:\mathrm{2}\:\rightarrow\begin{cases}{\mathrm{a}\:=\:\mathrm{k}}\\{\mathrm{b}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{k}}}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/May/21
let f(x)=(cosx+asinbx)^(1/x) ⇒f(x)=e^((1/x)log(cosx+asinx)) cosx∼1−(x^2 /2) and sinbx ∼bx ⇒cosx+asin(bx)∼1−(x^2 /2) +abx ⇒ log(cosx+asin(bx))∼log(1+abx−(x^2 /2))∼abx −(x^2 /2) ⇒ (1/x)log(cosx +asin(bx))∼ab−(x/2)→ab ⇒f(x)→e^(ab) =e^2 ⇒ab=2
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{cosx}+\mathrm{asinbx}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{log}\left(\mathrm{cosx}+\mathrm{asinx}\right)} \\ $$$$\mathrm{cosx}\sim\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{sinbx}\:\sim\mathrm{bx}\:\Rightarrow\mathrm{cosx}+\mathrm{asin}\left(\mathrm{bx}\right)\sim\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:+\mathrm{abx}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{log}\left(\mathrm{cosx}+\mathrm{asin}\left(\mathrm{bx}\right)\right)\sim\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{abx}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)\sim\mathrm{abx}\:−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{log}\left(\mathrm{cosx}\:+\mathrm{asin}\left(\mathrm{bx}\right)\right)\sim\mathrm{ab}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\rightarrow\mathrm{ab}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\rightarrow\mathrm{e}^{\mathrm{ab}} \:=\mathrm{e}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{ab}=\mathrm{2} \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *