Question Number 141585 by ZiYangLee last updated on 20/May/21
$$\mathrm{If}\:{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{multiple}\:\mathrm{of}\:\mathrm{4}\:\mathrm{and}\:{i}=\sqrt{−\mathrm{1}}\:,\: \\ $$$$\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{series} \\ $$$$\:\:\:{S}=\mathrm{1}+\mathrm{2}{i}+\mathrm{3}{i}^{\mathrm{2}} +……+\left({n}+\mathrm{1}\right){i}^{{n}} \: \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 21/May/21
$$\mathrm{S}=\mathrm{1}+\mathrm{2i}+\mathrm{3i}^{\mathrm{2}} +….+\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{i}^{\mathrm{n}} \:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{i}^{\mathrm{k}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:\:\left(\mathrm{x}\neq\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{kx}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:\Rightarrow\mathrm{let}\:\mathrm{change}\:\mathrm{n}\:\mathrm{by}\:\mathrm{n}+\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:=\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{n}=\mathrm{4p}\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{i}^{\mathrm{k}} \:=\frac{\left(\mathrm{4p}+\mathrm{1}\right)\mathrm{i}^{\mathrm{4p}+\mathrm{2}} −\left(\mathrm{4p}+\mathrm{2}\right)\mathrm{i}^{\mathrm{4p}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{i}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{−\left(\mathrm{4p}+\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{4p}+\mathrm{2}\right)\mathrm{i}+\mathrm{1}}{−\mathrm{2i}}\:=\frac{\mathrm{4p}+\mathrm{1}+\left(\mathrm{4p}+\mathrm{2}\right)\mathrm{i}+\mathrm{1}}{\mathrm{2i}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{i}\:+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\mathrm{i}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\:+\mathrm{n}+\mathrm{2}\:−\mathrm{i}\right) \\ $$