Question Number 4942 by prakash jain last updated on 24/Mar/16
$$\mathrm{If}\:{p}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{prime}\:\mathrm{number}\:\mathrm{greater}\:\mathrm{than}\:\mathrm{5},\:\mathrm{the}\:\mathrm{prove} \\ $$$$\mathrm{that}\:{p}\:\mathrm{mod}\:\mathrm{6}\:\equiv\mathrm{1}\:\mathrm{or}\:{p}\:\mathrm{mod}\:\mathrm{6}\equiv\mathrm{5}. \\ $$$$\mathrm{i}.\mathrm{e}.\:\mathrm{All}\:\mathrm{prime}\:\mathrm{numbers}\:\mathrm{greater}\:\mathrm{than}\:\mathrm{5}\:\mathrm{leave}\:\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{remainder}\:\mathrm{of}\:\mathrm{1}\:\mathrm{or}\:\mathrm{5}\:\mathrm{when}\:\mathrm{divided}\:\mathrm{by}\:\mathrm{6}. \\ $$
Commented by Yozzii last updated on 25/Mar/16
$$ \\ $$$${Define}\:{the}\:{function}\:{f}:\:\mathbb{P}\rightarrow\mathbb{N}\:{such}\:{that} \\ $$$${f}\left({p}\right)={p}\:\left({mod}\:\mathrm{6}\right)\:{where}\:\mathrm{0}\leqslant{f}\left({p}\right)\leqslant\mathrm{6}\:{and}\:{p}>\mathrm{5}. \\ $$$${Since}\:{p}\in\mathbb{P},\:\nexists{n}\in\mathbb{N}\:{such}\:{that}\:{p}=\mathrm{6}{n}+\mathrm{2}=\mathrm{2}\left(\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}\right)\:\left(>\mathrm{5}\right), \\ $$$${p}=\mathrm{6}{n}+\mathrm{3}=\mathrm{3}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)\:\left(>\mathrm{5}\right),{p}=\mathrm{6}{n}+\mathrm{4}=\mathrm{2}\left(\mathrm{3}{n}+\mathrm{2}\right)\:\left(>\mathrm{5}\right)\:{or}\:{p}=\mathrm{6}{n}=\mathrm{2}×\mathrm{3}{n}\:\left(>\mathrm{5}\right).\:{Therefore}, \\ $$$${we}\:{know}\:{that}\:{f}\left({p}\right)\neq\mathrm{0},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4}\:{and}\:{so}, \\ $$$${possibly}\:{f}\left({p}\right)=\mathrm{1}\:{or}\:{f}\left({p}\right)=\mathrm{5}\:{since}\:{for}\: \\ $$$${p}=\mathrm{6}{n}+\mathrm{1}\:{or}\:{p}=\mathrm{6}{n}+\mathrm{5},\:{no}\:{integer}\:{factors} \\ $$$${arise}\:{from}\:{these}\:{formulae}\:{of}\:{p}. \\ $$$${If}\:{n}\:{is}\:{even},\:{f}\left(\mathrm{6}{n}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}\:{or}\:{f}\left(\mathrm{6}{n}+\mathrm{5}\right)=\mathrm{5}. \\ $$$${If}\:{n}\:{is}\:{odd}\Rightarrow{p}=\mathrm{6}\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{12}{n}+\mathrm{7} \\ $$$$\Rightarrow{f}\left(\mathrm{12}{k}+\mathrm{7}\right)=\mathrm{1}\:{or}\:{if}\:{p}=\mathrm{6}\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{5}=\mathrm{12}{k}+\mathrm{11} \\ $$$$\Rightarrow{f}\left(\mathrm{12}{k}+\mathrm{11}\right)=\mathrm{5}. \\ $$
Commented by 3 last updated on 15/May/16
$${h} \\ $$