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If-tan-x-1-tan-x-tan-2-x-dx-x-k-A-tan-1-k-tan-x-1-A-C-where-C-is-constant-of-integration-then-the-ordered-pair-k-A-is-equal-to-

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Question Number 133004 by liberty last updated on 18/Feb/21
If ∫ ((tan x)/(1+tan x+tan^2 x)) dx = x−(k/( (√A))) tan^(−1) (((k tan x+1)/( (√A))))+C where C is constant of integration. then the ordered pair (k,A) is equal to
$$\mathrm{If}\:\int\:\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:\mathrm{x}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\:\mathrm{dx}\:=\:\mathrm{x}−\frac{{k}}{\:\sqrt{{A}}}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{k}\:\mathrm{tan}\:{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{A}}}\right)+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{where}\:\mathrm{C}\:\mathrm{is}\:\mathrm{constant}\:\mathrm{of}\:\mathrm{integration}. \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{the}\:\mathrm{ordered}\:\mathrm{pair}\:\left({k},\mathrm{A}\right)\:\mathrm{is}\: \\ $$$$\mathrm{equal}\:\mathrm{to}\: \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 18/Feb/21
consider tan x = 1+tan^2 x+tan x−sec^2 x I=∫ ((1+tan^2 x+tan x−sec^2 x)/(1+tan x+tan^2 x)) dx I=∫1−((sec^2 x)/(1+tan x+tan^2 x)) dx I=x−∫((sec^2 x)/(1+tan x+tan^2 x))dx put u = tan x I=x−∫ (du/(1+u+u^2 )) =x−∫ (du/((u+(1/2))^2 +(((√3)/2))^2 )) I=x−(2/( (√3))) tan^(−1) (((u+(1/2))/((√3)/2)))+C I=x−(2/( (√3)))tan^(−1) (((2tan x+1)/( (√3))))+C we find → { ((k=2)),((A=3)) :} ⇒(k,A) = (2,3)
$$\:\mathrm{consider}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{tan}\:\mathrm{x}−\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{I}=\int\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{tan}\:\mathrm{x}−\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:\mathrm{x}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\:\mathrm{dx}\: \\ $$$$\mathrm{I}=\int\mathrm{1}−\frac{\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:\mathrm{x}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\:\mathrm{dx}\: \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{x}−\int\frac{\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:\mathrm{x}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{put}\:\mathrm{u}\:=\:\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\: \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{x}−\int\:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{x}−\int\:\frac{\mathrm{du}}{\left(\mathrm{u}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{x}−\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{u}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\right)+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{x}−\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2tan}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+\mathrm{C}\: \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{find}\:\rightarrow\begin{cases}{{k}=\mathrm{2}}\\{{A}=\mathrm{3}}\end{cases}\:\Rightarrow\left({k},\mathrm{A}\right)\:=\:\left(\mathrm{2},\mathrm{3}\right) \\ $$

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