Question Number 9436 by geovane10math last updated on 08/Dec/16
$$\mathrm{If}\:\mathrm{they}\:\mathrm{said}\:\mathrm{that}\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:{k}\:\mathrm{diverges},\:\mathrm{why} \\ $$$$\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}\:+\:\mathrm{3}\:+\:\mathrm{4}\:+\:…\:=\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\:? \\ $$
Answered by mrW last updated on 08/Dec/16
$$\:\:\:\mathrm{T}=\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{3}−\mathrm{4}+\mathrm{5}−\mathrm{6}+… \\ $$$$\:\:\:\mathrm{T}=\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{3}−\mathrm{4}+\mathrm{5}−\mathrm{6}+… \\ $$$$\:\:\:\mathrm{T}=\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{3}−\mathrm{4}+\mathrm{5}−\mathrm{6}+… \\ $$$$\:\:\:\mathrm{T}=\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{3}−\mathrm{4}+\mathrm{5}−\mathrm{6}+…\:\: \\ $$$$\mathrm{4T}=\mathrm{1}+\mathrm{0}+\mathrm{0}+\mathrm{0}+\mathrm{0}+\mathrm{0}+…=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{T}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+\mathrm{6}+…=\mathrm{S}\:\:\:…\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{3}−\mathrm{4}+\mathrm{5}−\mathrm{6}+…=\mathrm{T}\:\:…\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)−\left(\mathrm{ii}\right): \\ $$$$\mathrm{2}×\left(\mathrm{2}+\mathrm{4}+\mathrm{6}+\mathrm{8}+\mathrm{10}+…\right)=\mathrm{S}−\mathrm{T} \\ $$$$\mathrm{4}×\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+…\right)=\mathrm{S}−\mathrm{T} \\ $$$$\mathrm{4S}=\mathrm{S}−\mathrm{T} \\ $$$$\mathrm{3S}=−\mathrm{T}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{S}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}=\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+… \\ $$
Commented by geovane10math last updated on 09/Dec/16
$$\mathrm{Thanks}\: \\ $$
Answered by mrW last updated on 09/Dec/16
$$\mathrm{other}\:\mathrm{strange}\:\mathrm{things}: \\ $$$$\mathrm{S}=\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+\mathrm{6}+…\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{S}=\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+…\:\:\:\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)+\left(\mathrm{ii}\right): \\ $$$$\mathrm{2S}=\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{4}+\mathrm{6}+\mathrm{8}+\mathrm{10}+… \\ $$$$\mathrm{2S}=\mathrm{1}+\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+…\right) \\ $$$$\mathrm{2S}=\mathrm{1}+\mathrm{2S} \\ $$$$\mathrm{0}=\mathrm{1} \\ $$