Question Number 141785 by 7770 last updated on 23/May/21
$$\boldsymbol{\mathrm{If}}\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}=\boldsymbol{\mathrm{asin}}\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{t}}+\boldsymbol{\mathrm{bcos}}\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{t}},\boldsymbol{\mathrm{prove}}\:\boldsymbol{\mathrm{that}}\: \\ $$$$\frac{\boldsymbol{\mathrm{dx}}}{\boldsymbol{\mathrm{dt}}}=\mathrm{2}\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}} +\boldsymbol{\mathrm{b}}^{\mathrm{2}} −\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{Solution}}…. \\ $$
Answered by iloveisrael last updated on 23/May/21
$$\:\frac{{dx}}{{dt}}\:=\:\mathrm{2}{a}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{t}−\mathrm{2}{b}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{t} \\ $$$$\:\frac{{dx}}{{dt}}\:=\:\mathrm{2}\:\sqrt{\left({a}\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{t}−{b}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{t}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\frac{{dx}}{{dt}}\:=\mathrm{2}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{t}+{b}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{t}−{ab}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{4}{t}} \\ $$$$\:\frac{{dx}}{{dt}}\:=\mathrm{2}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{t}\right)+{b}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{t}\right)−{ab}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{4}{t}} \\ $$$$\:\frac{{dx}}{{dt}}\:=\mathrm{2}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −\left({a}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{t}+{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{t}+{ab}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{4}{t}\right.} \\ $$$$\:\frac{{dx}}{{dt}}\:=\:\mathrm{2}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right){x}^{\mathrm{2}} \:=\:{a}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{t}\:+\:{b}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{t}\:+{ab}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{4}{t} \\ $$$$ \\ $$