Question Number 143097 by ZiYangLee last updated on 10/Jun/21
$$\mathrm{If}\:{z}=\mathrm{cos}\:\theta+{i}\mathrm{sin}\:\theta,\: \\ $$$$\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\frac{\mathrm{1}−{z}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{z}^{\mathrm{2}} }=−{i}\mathrm{tan}\:\theta \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 10/Jun/21
$$\frac{\mathrm{1}−\left(\mathrm{c}+\mathrm{is}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\left(\mathrm{c}+\mathrm{is}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ics}}{\mathrm{1}−\mathrm{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2ics}}=\frac{\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ics}}{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ics}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{s}\left(\mathrm{s}−\mathrm{ic}\right)}{\mathrm{c}\left(\mathrm{c}+\mathrm{is}\right)}=\frac{−\mathrm{is}{z}}{\mathrm{c}{z}}=−\mathrm{i}\:\mathrm{tan}\:\theta \\ $$