Question Number 76303 by arkanmath7@gmail.com last updated on 26/Dec/19
$${In}\:{the}\:{symmetric}\:{group}\:\left({S}_{{n}} \:,\:{o}\right),\:{let} \\ $$$${H}\:{denotes}\:{the}\:{set}\:{of}\:{permutations}\: \\ $$$${leaving}\:{the}\:{integer}\:{n}\:{fixed}: \\ $$$$\:\:\:{H}\:=\:\left\{{f}\in{S}_{{n}} \:\mid\:{f}\left({n}\right)\:=\:{n}\right\} \\ $$$${Show}\:{that}\:{the}\:{pair}\:\left({H},\:{o}\right)\:{is}\:{subgroup} \\ $$$${of}\:\left({S}_{{n}} ,{o}\right). \\ $$$$'{note}:\:{the}\:{operation}\:{is}\:{composition}' \\ $$
Answered by mind is power last updated on 26/Dec/19
$$\mathrm{Id}\in\mathrm{H} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\:,\mathrm{g}\in\mathrm{H} \\ $$$$\mathrm{fog}\in\mathrm{H}\:\mathrm{since} \\ $$$$\mathrm{fog}\left(\mathrm{n}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{n}\right)\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)=\mathrm{n} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{f}\in\mathrm{H}\:\:\:\mathrm{f}^{−} \in\mathrm{H} \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{f}\in\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \Rightarrow\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{bijection}\Rightarrow\mathrm{f}^{−} \mathrm{existe}\:\mathrm{un} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)=\mathrm{n}\Rightarrow\mathrm{f}^{−} \mathrm{of}\left(\mathrm{n}\right)=\mathrm{f}^{−} \left(\mathrm{n}\right)\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{f}^{−} \left(\mathrm{n}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{H}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{sub}\:\mathrm{groupe}\:\mathrm{of}\:\left(\mathrm{S}_{\mathrm{n}_{,} } ,\mathrm{o}\right) \\ $$$$ \\ $$
Commented by arkanmath7@gmail.com last updated on 26/Dec/19
$${Thanks} \\ $$