Question Number 134058 by john_santu last updated on 27/Feb/21
$$\mathcal{J}\:=\:\int\:\frac{{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:{x}+\mathrm{csc}\:{x}+\mathrm{cot}\:{x}+\mathrm{sec}\:{x}} \\ $$
Answered by john_santu last updated on 27/Feb/21
$$\mathcal{J}=\int\:\frac{{dx}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{cos}\:{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:{x}}+\frac{\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{sin}\:{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:{x}}} \\ $$$$\:=\:\int\:\frac{\mathrm{cos}\:{x}\:\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{sin}\:{x}} \\ $$$$=\:\int\:\frac{\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)}{\left(\mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)}\:{dx} \\ $$$$=\:\int\:\frac{\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)\:{dx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)} \\ $$$$=\:\int\:\frac{\mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)\:{dx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{x}\right)} \\ $$$$=\int\:\frac{\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)}{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}}\:{dx} \\ $$$$=\:\int\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:{x}\right)}{\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}}\:{dx} \\ $$$$=\:\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{sec}\:{x}−\mathrm{csc}\:{x}\:+\mathrm{sec}\:{x}\:\mathrm{csc}\:{x}\:\right){dx} \\ $$$$=\:\mathrm{2}\int\:\mathrm{csc}\:\mathrm{2}{x}\:{dx}−\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{sec}\:{x}+\mathrm{tan}\:{x}\mid\:+{x}+\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{cot}\:{x}+\mathrm{cs}{c}\:{x}\mid\: \\ $$$$=\:−\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{cot}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{csc}\:\mathrm{2}{x}\mid\:−\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{sec}\:{x}+\mathrm{tan}\:{x}\mid\:+ \\ $$$$\:\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{cot}\:{x}+\mathrm{csc}\:{x}\mid\:+\:{x}\:+\:{c} \\ $$