Question Number 9516 by Joel575 last updated on 12/Dec/16
$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\lfloor\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \:{k}\rfloor\:=\:\mathrm{2018} \\ $$$$\mathrm{What}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:{n}\:? \\ $$
Commented by sou1618 last updated on 12/Dec/16
$$\ast{K}=\lfloor{log}_{\mathrm{2}} {k}\rfloor \\ $$$${when}\:\mathrm{2}^{\mathrm{0}} \leqslant{k}<\mathrm{2}^{\mathrm{1}} \:\:\:{k}=\left\{\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\:\:\:{K}=\mathrm{0} \\ $$$${when}\:\mathrm{2}^{\mathrm{1}} \leqslant{k}<\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \:\:\:{k}=\left\{\mathrm{2},\mathrm{3}\right\} \\ $$$$\:\:\:{K}=\mathrm{1} \\ $$$$… \\ $$$$\left({m}=\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3}….\right) \\ $$$${when}\:\mathrm{2}^{{m}} \leqslant{k}<\mathrm{2}^{{m}+\mathrm{1}} \:\:\:\:{k}=\left\{\mathrm{2}^{{m}} ,\mathrm{2}^{{m}} +\mathrm{1},\mathrm{2}^{{m}} +\mathrm{2},…,\mathrm{2}^{{m}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\:\:\:{K}={m} \\ $$$$ \\ $$$${T}_{{m}} =\underset{{k}=\mathrm{2}^{{m}} } {\overset{\left(\mathrm{2}^{{m}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)} {\sum}}{K} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\underset{{k}=\mathrm{2}^{{m}} } {\overset{\left(\mathrm{2}^{{m}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)} {\sum}}{m}\:\:={m}\mathrm{2}^{{m}} \\ $$$$−−−−−−−−−− \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{K}=\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\lfloor{log}_{\mathrm{2}} {n}\rfloor} {\sum}}\left(\underset{{k}=\mathrm{2}^{{m}−\mathrm{1}} } {\overset{\mathrm{2}^{{m}} −\mathrm{1}} {\sum}}{K}\right)+\underset{\left({k}=\mathrm{2}^{\lfloor{log}_{\mathrm{2}} {n}\rfloor} \right)} {\overset{{n}} {\sum}}{K} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{K}=\underset{{m}=\mathrm{0}} {\overset{\lfloor{log}_{\mathrm{2}} {n}\rfloor−\mathrm{1}} {\sum}}{T}_{{m}} +\underset{\left({k}=\mathrm{2}^{\lfloor{log}_{\mathrm{2}} {n}\rfloor} \right)} {\overset{{n}} {\sum}}{K} \\ $$$${so}\:{find}\:{N}\::{satisfying}\downarrow \\ $$$$\underset{{m}=\mathrm{0}} {\overset{{N}} {\sum}}{T}_{{m}} <\mathrm{2018} \\ $$$$=\mathrm{0}×\mathrm{2}^{\mathrm{0}} +\mathrm{1}×\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\mathrm{2}×\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}×\mathrm{2}^{\mathrm{3}} …+{N}×\mathrm{2}^{{N}} <\mathrm{2018} \\ $$$$\mathrm{0}+\mathrm{2}+\mathrm{8}+\mathrm{24}+\mathrm{64}+\mathrm{160}+\mathrm{384}+\mathrm{896}=\mathrm{1538}<\mathrm{2018} \\ $$$$\therefore{N}=\mathrm{7} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{7}=\lfloor{log}_{\mathrm{2}} {n}\rfloor−\mathrm{1}\:\:\Leftrightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{8}} \leqslant{n}<\mathrm{2}^{\mathrm{9}} \\ $$$$ \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{2}^{\mathrm{8}} } {\overset{{n}} {\sum}}{K}=\mathrm{2018}−\mathrm{1538}=\mathrm{480} \\ $$$${when}\:\mathrm{2}^{\mathrm{8}} \leqslant{n}<\mathrm{2}^{\mathrm{8}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:{K}=\mathrm{8} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{2}^{\mathrm{8}} } {\overset{{n}} {\sum}}{K}=\left({n}+\mathrm{1}−\mathrm{2}^{\mathrm{8}} \right)×\mathrm{8}=\mathrm{480} \\ $$$$\therefore{n}=\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{59} \\ $$
Commented by Joel575 last updated on 14/Dec/16
$${thank}\:{yoh}\:{very}\:{much} \\ $$