Question Number 142865 by EnterUsername last updated on 06/Jun/21
$$\mathrm{Let}\:{a}_{\mathrm{1}} ,\:{a}_{\mathrm{2}} ,\:{a}_{\mathrm{3}} ,\:…\:\mathrm{be}\:\mathrm{an}\:\mathrm{arithmethic}\:\mathrm{progression}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{positive}\:\mathrm{real}\:\mathrm{numbers}.\:\mathrm{Then} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{a}_{\mathrm{1}} }+\sqrt{{a}_{\mathrm{2}} }}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{a}_{\mathrm{2}} }+\sqrt{{a}_{\mathrm{3}} }}+\centerdot\centerdot\centerdot+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{a}_{{n}−\mathrm{1}} }+\sqrt{{a}_{{n}} }}= \\ $$$$\left(\mathrm{A}\right)\:\frac{{n}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{a}_{\mathrm{1}} }+\sqrt{{a}_{{n}} }}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{B}\right)\:\frac{{n}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{{a}_{\mathrm{1}} }+\sqrt{{a}_{{n}} }} \\ $$$$\left(\mathrm{C}\right)\:\frac{{n}}{\:\sqrt{{a}_{\mathrm{1}} }+\sqrt{{a}_{{n}} }}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{D}\right)\:\frac{{n}}{\:\sqrt{{a}_{{n}} }−\sqrt{{a}_{\mathrm{1}} }} \\ $$
Commented by som(math1967) last updated on 07/Jun/21
$$\left({B}\right)\frac{{n}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{{a}_{\mathrm{1}} }+\sqrt{{a}_{{n}} }}\:\:\square \\ $$
Answered by mr W last updated on 06/Jun/21
$$\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{a}_{\mathrm{1}} }+\sqrt{{a}_{\mathrm{2}} }}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{a}_{\mathrm{2}} }+\sqrt{{a}_{\mathrm{3}} }}+\centerdot\centerdot\centerdot+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{a}_{{n}−\mathrm{1}} }+\sqrt{{a}_{{n}} }} \\ $$$$=\frac{\sqrt{{a}_{\mathrm{2}} }−\sqrt{{a}_{\mathrm{1}} }}{\:{a}_{\mathrm{2}} −{a}_{\mathrm{1}} }+\frac{\sqrt{{a}_{\mathrm{3}} }−\sqrt{{a}_{\mathrm{2}} }}{\:{a}_{\mathrm{3}} −{a}_{\mathrm{2}} }+\centerdot\centerdot\centerdot+\frac{\sqrt{{a}_{{n}} }−\sqrt{{a}_{{b}−\mathrm{1}} }}{\:{a}_{{n}} −{a}_{{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$$=\frac{\sqrt{{a}_{{n}} }−\sqrt{{a}_{\mathrm{1}} }}{{d}} \\ $$$$=\frac{\left(\sqrt{{a}_{{n}} }−\sqrt{{a}_{\mathrm{1}} }\right)\left({n}−\mathrm{1}\right)}{{a}_{{n}} −{a}_{\mathrm{1}} } \\ $$$$=\frac{{n}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{{a}_{{n}} }+\sqrt{{a}_{\mathrm{1}} }} \\ $$$$\Rightarrow{answer}\:\left({B}\right) \\ $$
Commented by EnterUsername last updated on 06/Jun/21
$${a}_{{n}} ={a}_{\mathrm{1}} +\left({n}−\mathrm{1}\right){d}.\: \\ $$$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you},\:\mathrm{Sir} \\ $$