Question Number 140997 by loveineq last updated on 14/May/21
$$\mathrm{Let}\:{a},{b},{c}\:\geqslant\:\mathrm{0}.\:\mathrm{Prove}\:\mathrm{that} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\centerdot\frac{\left(\mathrm{2}+{a}\right)\left(\mathrm{2}+{b}\right)\left(\mathrm{2}+{c}\right)}{\left(\mathrm{1}+{a}\right)\left(\mathrm{1}+{b}\right)\left(\mathrm{1}+{c}\right)}\:\geqslant\:\frac{\mathrm{4}−{a}−{b}−{c}}{\mathrm{4}+{a}+{b}+{c}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 15/May/21
$$\mathrm{as}\:\mathrm{easy}\:\mathrm{as}\:\mathrm{the}\:\mathrm{last}\:\mathrm{one} \\ $$$$\mathrm{all}\:\mathrm{denominators}\:\mathrm{are}\:>\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{just}\:\mathrm{multiplicate} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{subtract}\:\mathrm{rhs}\:\mathrm{from}\:\mathrm{both}\:\mathrm{sides}\:\Rightarrow\:\mathrm{only} \\ $$$$\mathrm{positive}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{on}\:\mathrm{lhs} \\ $$