Question Number 74280 by ~blr237~ last updated on 21/Nov/19
$${Let}\:\:{consider}\:\alpha\::\:{I}\rightarrow\mathbb{R}^{\mathrm{2}} \:\:{a}\:{parametric}\:{curve}\:{defined}\:{as} \\ $$$$\forall\:{t}\in{I}\:\:\:\alpha\left({t}\right)=\left(\frac{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}\:,\frac{\mathrm{2}{t}}{{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}\right)\: \\ $$$${Prove}\:{that}\:{for}\:{a},{b},{c}\in{I}\:\:\: \\ $$$$\:\:\alpha\left({a}\right),\alpha\left({b}\right),\alpha\left({c}\right)\:{are}\:{on}\:{the}\:{same}\:{lign}\:{iff}\:\:{abc}={a}+{b}+{c}+\mathrm{1} \\ $$
Commented by MJS last updated on 21/Nov/19
$$\mathrm{test} \\ $$$${a}=\mathrm{3}\:\:{b}=\mathrm{5}\:\:\Rightarrow\:{c}=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{14}} \\ $$$$\alpha\left(\mathrm{3}\right)=\begin{pmatrix}{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{13}}}\\{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{13}}}\end{pmatrix}\:\:\alpha\left(\mathrm{5}\right)=\begin{pmatrix}{\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{31}}}\\{\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{62}}}\end{pmatrix}\:\:\alpha\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{14}}\right)=\begin{pmatrix}{\frac{\mathrm{322}}{\mathrm{403}}}\\{−\frac{\mathrm{3528}}{\mathrm{2015}}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{line}\:\mathrm{through}\:\mathrm{the}\:\mathrm{1}^{\mathrm{st}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{2}^{\mathrm{nd}} \\ $$$${y}=\frac{\mathrm{121}}{\mathrm{92}}{x}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{23}} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{3}^{\mathrm{rd}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{on}\:\mathrm{this}\:\mathrm{line} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{wrong} \\ $$
Commented by ~blr237~ last updated on 21/Nov/19
$${please}\:{sir}\:{i}\:{correctly}\:{copied}\:{the}\:{exercise}.{What}\:{on}\:{that}\:{test}\:{prove}\:{that}\:{the}\:{queztion}\:{iz}\:{wrong} \\ $$
Commented by MJS last updated on 21/Nov/19
$$\mathrm{if}\:\mathrm{there}'\mathrm{s}\:\mathrm{at}\:\mathrm{least}\:\mathrm{one}\:\mathrm{counter}\:\mathrm{example}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{question}\:\mathrm{is}\:\mathrm{wrong} \\ $$
Commented by ~blr237~ last updated on 21/Nov/19
$${thanks}\:{you}\:{sir}\:,\:{i}\:{have}\:{seen}\:{the}\:{problem} \\ $$
Commented by MJS last updated on 21/Nov/19
$$\mathrm{whenever}\:\mathrm{an}\:\mathrm{example}\:\mathrm{like}\:\mathrm{this}\:\mathrm{one}\:\mathrm{looks} \\ $$$$\mathrm{complicated}\:\mathrm{to}\:\mathrm{transform},\:\mathrm{I}\:\mathrm{make}\:\mathrm{a}\:\mathrm{few} \\ $$$$\mathrm{tests}\:\mathrm{to}\:\mathrm{ensure}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{worth}\:\mathrm{the}\:\mathrm{effort} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 21/Nov/19
$${false}\:{this}\:{is}\:{abc}=\mathrm{1}−{a}−{b}−{c} \\ $$$$ \\ $$
Commented by ~blr237~ last updated on 21/Nov/19
$${Okay}\:{sir}\:\:{have}\:{you}\:{proved}\:{it}? \\ $$
Answered by mind is power last updated on 21/Nov/19
$${let}\:\alpha\left({a}\right)=\left(\frac{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}},\frac{\mathrm{2}{a}}{{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}\right),\alpha\left({b}\right)=\left(\frac{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}},\frac{\mathrm{2}{b}}{{b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}\right),\alpha\left({c}\right)=\left(\frac{{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}},\frac{\mathrm{2}{c}}{{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\alpha\left({a}\right),\alpha\left({b}\right),\alpha\left({c}\right)\:{in}\:{same}\:{lign} \\ $$$$\Leftrightarrow \\ $$$$\frac{\frac{\mathrm{2}{a}}{{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}{b}}{{b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}}{\frac{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}−\frac{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}}=\frac{\frac{\mathrm{2}{a}}{{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}{c}}{{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}}{\frac{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}{c}}{{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}} \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{2}{a}\left({b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}{b}\left({a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)}{\left({b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\left({a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\left({b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{2}{a}\left({c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}{c}\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\left({c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\left({c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left({a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)}..{H} \\ $$$${we}\:{will}\:{worck}\:{withe}\:{one}\:{expression}\:{the}\:{other}\:{one}\:{is}\:{just} \\ $$$$\left({a},{b}\right)\rightarrow\left({a},{c}\right) \\ $$$$\mathrm{2}{a}\left({b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}{b}\left({a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)=\left({b}−{a}\right)\left(\mathrm{2}{ab}\left({b}+{a}\right)+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left({b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\left({a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\left({b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)=\left({a}−\mathrm{1}\right)\left({b}−\mathrm{1}\right)\left\{\left({a}+\mathrm{1}\right)\left({b}^{\mathrm{2}} +{b}+\mathrm{1}\right)−\left({b}+\mathrm{1}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} +{a}+\mathrm{1}\right)\right\} \\ $$$$=\left({a}−\mathrm{1}\right)\left({b}−\mathrm{1}\right)\left\{{ab}^{\mathrm{2}} −{ba}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −{a}^{\mathrm{2}} \right\}=\left({a}−\mathrm{1}\right)\left({b}−\mathrm{1}\right)\left({b}−{a}\right)\left\{{ab}+{b}+{a}\right\} \\ $$$${H} \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{{ab}\left({b}+{a}\right)+\mathrm{1}}{\left({a}−\mathrm{1}\right)\left({b}−\mathrm{1}\right)\left({ab}+{a}+{b}\right)}=\frac{{ac}\left({c}+{a}\right)+\mathrm{1}}{\left({a}−\mathrm{1}\right)\left({c}−\mathrm{1}\right)\left({ac}+{a}+{c}\right)} \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{{ab}\left({b}+{a}\right)+\mathrm{1}}{\left({b}−\mathrm{1}\right)\left({ab}+{a}+{b}\right)}=\frac{{ac}\left({c}+{a}\right)+\mathrm{1}}{\left({c}−\mathrm{1}\right)\left({ac}+{a}+{c}\right)} \\ $$$$\left({b}−\mathrm{1}\right)\left({ab}+{a}+{b}\right)={ab}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −{a}−{b} \\ $$$$\Leftrightarrow\left({ab}\left({a}+{b}\right)+\mathrm{1}\right)\left({ac}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{c}−{a}\right)=\left({ca}\left({c}+{a}\right)+\mathrm{1}\right)\left({ab}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −{a}−{b}\right) \\ $$$$\left\{{a}^{\mathrm{2}} {b}+{ab}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right\}\left({ac}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{c}−{a}\right) \\ $$$$={a}^{\mathrm{3}} {bc}^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{2}} {bc}^{\mathrm{2}} −{a}^{\mathrm{2}} {bc}−{a}^{\mathrm{3}} {b}+{a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} {c}^{\mathrm{2}} +{ac}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} −{acb}^{\mathrm{2}} −{a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} +{ac}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{c}−{a} \\ $$$$\left({c}^{\mathrm{2}} {a}+{ca}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({ab}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −{a}−{b}\right)={a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} {c}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} {ab}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} {a}^{\mathrm{2}} −{bac}^{\mathrm{2}} +{ca}^{\mathrm{3}} {b}^{\mathrm{2}} +{ca}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$−{ca}^{\mathrm{3}} −{cba}^{\mathrm{2}} +{ab}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −{a}−{b} \\ $$$$\left({ab}\left({a}+{b}\right)+\mathrm{1}\right)\left({ac}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{c}−{a}\right)−\left({ca}\left({c}+{a}\right)+\mathrm{1}\right)\left({ab}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −{a}−{b}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow \\ $$$$\left.{a}^{\mathrm{3}} {bc}\left({c}−{b}\right)\:+{a}^{\mathrm{3}} \left({c}−{b}\right)+{acb}\left({c}−{b}\right)+{a}^{\mathrm{2}} {bc}\left({c}−{b}\right)+{a}^{\mathrm{2}} \left({c}^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} \right)+{a}\left({c}^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} \right)+{c}^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} −\left({c}−{b}\right)\right\}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left({c}−{b}\right)\left\{{a}^{\mathrm{3}} {bc}+{a}^{\mathrm{3}} +{acb}+{a}^{\mathrm{2}} \left({c}+{b}\right)+{a}^{\mathrm{2}} {bc}\left({c}−{b}\right)+{a}\left({c}+{b}\right)+{c}+{b}−\mathrm{1}\right\}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow{a}^{\mathrm{3}} {bc}+{a}^{\mathrm{3}} +{acb}+{a}^{\mathrm{2}} {bc}+{a}^{\mathrm{2}} {c}+{a}^{\mathrm{2}} {b}+{ac}+{ab}+{c}+{b}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}+{abc}\left({a}^{\mathrm{2}} +{a}+\mathrm{1}\right)+{c}\left({a}^{\mathrm{2}} +{a}+\mathrm{1}\right)+{b}\left({a}^{\mathrm{2}} +{a}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}=\left({a}−\mathrm{1}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} +{a}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\left({a}^{\mathrm{2}} +{a}+\mathrm{1}\right)\left({a}−\mathrm{1}+{abc}+{c}+{b}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\forall{a}\in\mathbb{R}\:\:{a}^{\mathrm{2}} +{a}+\mathrm{1}>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{a}−\mathrm{1}+{abc}+{b}+{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow{abc}=\mathrm{1}−{a}−{b}−{c} \\ $$$$ \\ $$