Question Number 71548 by Cmr 237 last updated on 17/Oct/19
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}:\boldsymbol{\mathrm{U}}\subset\mathbb{R}^{\mathrm{n}} \rightarrow\mathbb{R}^{\mathrm{p}} \:\mathrm{be}\:\mathrm{an}\:\mathrm{application} \\ $$$$\mathrm{where}\:\boldsymbol{\mathrm{U}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{open}\:\mathrm{set} \\ $$$$\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\forall\mathrm{x}\in\boldsymbol{{U}},\exists\mathrm{h}\in\mathbb{R}^{\mathrm{n}} \mathrm{such}\:\mathrm{as} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{h}\in\boldsymbol{{U}} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 17/Oct/19
$$\mathrm{U}\:\mathrm{is}\:\mathrm{open}\:\Rightarrow\exists\:\varepsilon>\mathrm{0}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\mathrm{B}\left(\mathrm{x},\varepsilon\right)\subset\mathrm{U} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{B}\left(\mathrm{x},\varepsilon\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{convex}\: \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\frac{\varepsilon}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}\in\mathrm{B}\left(\mathrm{x},\varepsilon\right)\subset\mathrm{U}\Rightarrow\left(\mathrm{1}+\frac{\varepsilon}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}\in\mathrm{U} \\ $$