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let-f-x-1-2-sinx-developp-f-at-fourier-serie-

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Question Number 143488 by mathmax by abdo last updated on 15/Jun/21
let f(x)=(1/(2+sinx)) developp f at fourier serie
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\mathrm{sinx}} \\ $$$$\mathrm{developp}\:\mathrm{f}\:\mathrm{at}\:\mathrm{fourier}\:\mathrm{serie} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 16/Jun/21
f(x)=(1/(2+sinx)) =(1/(2+((e^(ix) −e^(−ix) )/(2i)))) =((2i)/(4i+e^(ix) −e^(−ix) ))=_(e^(ix) =z) ((2i)/(4i+z−z^(−1) )) =((2iz)/(4iz+z^2 −1))=((2iz)/(z^2 +4iz −1))=ϕ(z) z^2 +4iz−1=0 →Δ^′ =−4+1=−3 ⇒z_1 =−2i+i(√3) z_2 =−2i−i(√3) ⇒ϕ(z)=((2iz)/((z−z_1 )(z−z_2 )))=2iz((1/(z−z_1 ))−(1/(z−z_2 )))×(1/(z_1 −z_2 )) =((2iz)/(2i(√3)))((1/(z−z_1 ))−(1/(z−z_2 )))=(1/( (√3)))(((z−z_1 +z_1 )/(z−z_1 ))−((z−z_2 +z_2 )/(z−z_2 ))) =(1/( (√3)))((z_1 /(z−z_1 ))−(z_2 /(z−z_2 )))=(1/( (√3)))((1/((z/z_1 )−1))−(1/((z/z_2 )−1))) =(1/( (√3)))((1/(1−(z/z_2 )))−(1/(1−(z/z_1 )))) we have ∣(z/z_2 )∣=(1/( (√7)))<1 ∣(z/z_1 )∣=(1/( (√7)))<1 ⇒ϕ(z)=(1/( (√3)))(Σ_(n=0) ^∞ (z^n /z_2 ^n )−Σ_(n=0) ^∞ (z^n /z_1 ^n )) =(1/( (√3)))Σ_(n=0) ^∞ ((1/z_2 ^n )−(1/z_1 ^n ))z^n =(1/( (√3)))Σ_(n=0) ^∞ (((z_1 ^(n ) −z_1 ^−^n )/((z_1 z_2 )^n )))z^n we have z_1 =(√7)e^(−iarctam(((√3)/2))) ⇒z_1 ^n =((√7))^n e^(−inarctan(((√3)/2))) ⇒ ϕ(z)=−(1/( (√3)))Σ_(n0) ^∞ ((2isin(narctan(((√3)/(2 )))))/((−1)^n ))z^n =−((2i)/( (√3)))Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n sin(narctan(((√3)/2)))e^(inx) =−((2i)/( (√3)))Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n sin(narctan(((√3)/2))){cos(nx)+isin(nx)} ϕ(z)=f(x)∈R ⇒ϕ(z)=(2/( (√3)))Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n sin(narctan(((√3)/(2 ))))sin(nx) =(1/(2+sinx))
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\mathrm{sinx}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2i}}}\:=\frac{\mathrm{2i}}{\mathrm{4i}+\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }=_{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} =\mathrm{z}} \:\:\:\frac{\mathrm{2i}}{\mathrm{4i}+\mathrm{z}−\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2iz}}{\mathrm{4iz}+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2iz}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4iz}\:−\mathrm{1}}=\varphi\left(\mathrm{z}\right) \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4iz}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\rightarrow\Delta^{'} \:=−\mathrm{4}+\mathrm{1}=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{2i}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{2i}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{2iz}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)}=\mathrm{2iz}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} −\mathrm{z}_{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2iz}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\frac{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} +\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} +\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }}\right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mid\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\mid=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{7}}}<\mathrm{1} \\ $$$$\mid\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }\mid=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{7}}}<\mathrm{1}\:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} }−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} }\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} }\right)\mathrm{z}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}\:} −\overset{−^{\mathrm{n}} } {\mathrm{z}}_{\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} }\right)\mathrm{z}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{e}^{−\mathrm{iarctam}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)} \:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:=\left(\sqrt{\mathrm{7}}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{inarctan}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)} \:\Rightarrow \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\sum_{\mathrm{n0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{2isin}\left(\mathrm{narctan}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}\:}\right)\right)}{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }\mathrm{z}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{2i}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{narctan}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\right)\mathrm{e}^{\mathrm{inx}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{2i}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{narctan}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\right)\left\{\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{nx}\right)\right\} \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\in\mathrm{R}\:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{narctan}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}\:}\right)\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\mathrm{sinx}} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 16/Jun/21
sorry ϕ(z)=(2/( (√3)))Σ_(n=0) ^∞ (−(√7))^n sin(narctan(((√3)/2)))sin(nx)
$$\mathrm{sorry}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\sqrt{\mathrm{7}}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{narctan}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right) \\ $$

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